[论文解读] Existence of weak solutions to multiphase Cahn–Hilliard–Darcy and Cahn–Hilliard–Brinkman models for stratified tumor growth with chemotaxis and general source terms

Patrik Knopf, Andrea Signori|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 97被引用 25

一句话总结

本文建立了用于模拟具有趋化性和一般源项的分层肿瘤生长的多相Cahn–Hilliard–Darcy与Cahn–Hilliard–Brinkman系统全局弱解的存在性。该模型结合了多种细胞类型和化学物质（如氧气、营养物质），使用相场函数表示肿瘤细胞和健康细胞，并将描述肿瘤演化的Cahn–Hilliard方程与描述营养物质动态的反应-扩散方程耦合。关键成果是通过消失粘性极限方法，严格证明了Brinkman和Darcy形式化系统的弱解存在性。

ABSTRACT

We investigate a multiphase Cahn–Hilliard model for tumor growth with general source terms. The multiphase approach allows us to consider multiple cell types and multiple chemical species (oxygen and/or nutrients) that are consumed by the tumor. Compared to classical two-phase tumor growth models, the multiphase model can be used to describe a stratified tumor exhibiting several layers of tissue (e.g., proliferating, quiescent and necrotic tissue) more precisely. Our model consists of a convective Cahn–Hilliard type equation to describe the tumor evolution, a velocity equation for the associated volume-averaged velocity field, and a convective reaction-diffusion type equation to describe the density of the chemical species. The velocity equation is either represented by Darcy’s law or by the Brinkman equation. We first construct a global weak solution of the multiphase Cahn–Hilliard–Brinkman model. After that, we show that such weak solutions of this system converge to a weak solution of the multiphase Cahn–Hilliard–Darcy system as the viscosities tend to zero in some suitable sense. This means that the existence of a global weak solution to the Cahn–Hilliard–Darcy system is also established.

研究动机与目标

• 开发一种多相数学模型以更准确地描述分层组织层（增殖、静止、坏死）的肿瘤生长，优于经典的两相模型。
• 在扩散界面框架中整合趋化性、营养物质消耗和一般源项。
• 严格建立Cahn–Hilliard–Brinkman与Cahn–Hilliard–Darcy系统的全局弱解存在性。
• 展示当粘性趋于零时，Brinkman模型的弱解收敛于Darcy模型的弱解。
• 为具有复杂组织异质性的患者特异性肿瘤生长模拟提供理论基础。

提出的方法

• 构建一个包含L种肿瘤细胞类型和M种化学物质（如氧气、营养物质）的多相Cahn–Hilliard系统，使用相场函数ϕ和σ。
• 将描述肿瘤演化的Cahn–Hilliard方程与描述营养物质动态的反应-扩散方程耦合。
• 使用由Brinkman定律（含粘性）或Darcy定律（无粘性）控制的体积平均速度v，实现类流体与多孔介质类肿瘤动力学。
• 采用Sobolev空间中的测试函数的变分形式，推导弱解。
• 应用消失粘性极限技术：构造Brinkman模型的解，并在粘性→0时取极限，以恢复Darcy模型的解。
• 依赖紧致性论证、弱收敛性以及先验估计，以在非线性项中取极限并恢复初始条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 多相Cahn–Hilliard模型能否准确描述具有多种细胞类型和化学物质的分层肿瘤生长？
• RQ2 Cahn–Hilliard–Brinkman系统在具有一般源项和趋化性时是否具有全局弱解？
• RQ3 当粘性趋于零时，Cahn–Hilliard–Brinkman模型的弱解是否收敛于Cahn–Hilliard–Darcy模型的弱解？
• RQ4 当粘性可忽略时，使用Darcy定律在肿瘤生长模型中的数学依据是什么？
• RQ5 如何在扩散界面框架中一致地整合一般源项和趋化效应以描述肿瘤动力学？

主要发现

• 严格证明了具有一般源项和趋化性的多相Cahn–Hilliard–Brinkman系统存在全局弱解。
• 当粘性在适当意义下趋于零时，Cahn–Hilliard–Brinkman系统的弱解收敛于Cahn–Hilliard–Darcy系统的弱解。
• 极限过程保持了系统结构，包括速度的无散度条件以及由Cahn–Hilliard方程控制的界面动力学。
• 初始条件在极限中得以保持，确保解在弱意义下满足ϕ|t=0 = ϕ₀和σ|t=0 = σ₀。
• 压力场满足p|Σ = 0几乎处处在边界上，证实与Darcy型动量方程的一致性。
• 该方法为将扩散界面模型扩展至具有真实生物特征的复杂多相肿瘤微环境提供了稳健的分析框架。