[论文解读] Existence Problem of Telescopers: Beyond the Bivariate Case

Shaoshi Chen, Qing-Hu Hou+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文通过将三元离散变量有理函数的 telescoper 存在性问题约化为双变量有理函数的可求和性问题——该问题最近已解决——从而解决了该问题。作者利用广义约化算法与平移等价性检测，建立了 telescoper 存在的充要条件，将先前仅限于双变量情形的结果推广至三元情形，并通过一个关键例子表明，即使函数非真有理函数，仍可能具有 telescoper。

ABSTRACT

In this paper, we solve the existence problem of telescopers for rational functions in three discrete variables. We reduce the problem to that of deciding the summability of bivariate rational functions, which has been solved recently. The existence criteria we present is needed for detecting the termination of Zeilberger's algorithm to the function classes studied in this paper.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：确定三元离散变量有理函数何时存在 telescoper。
• 将现有存在性准则——此前仅适用于双变量情形——扩展至非真或非整体函数的范围之外。
• 为三元有理函数情形下的 telescoper 存在性提供必要且充分的条件。
• 使 Zeilberger 算法在该类函数中的终止性检测成为可能。
• 为解决一般多变量函数类（包括超几何项）中的存在性问题奠定基础。

提出的方法

• 利用广义约化算法，将三元 telescoper 存在性问题约化为双变量有理函数可求和性的测试。
• 应用平移等价性检测程序，识别多项式在特定平移下是否保持不变，这对于处理部分分式中的分母至关重要。
• 在变量 $ y $ 上使用不可约部分分式分解，以隔离用于 $ ( au_y, au_z) $-可求和性分析的分量。
• 利用 $ au_y $-和 $ au_z $-可求和分量的结构，通过算子分解确定 telescoper 是否存在的条件。
• 将已知的双变量有理函数可求和性算法（来自 [21]）作为整体决策过程中的子程序使用。
• 提出一种新颖的约化框架，可处理三元变量中的非真有理函数，包括标准准则失效的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三元离散变量有理函数非真或非整体时，其 telescoper 存在的条件是什么？
• RQ2 三元情形下，telescoper 的存在性是否可约化为双变量有理函数的可求和性？
• RQ3 如何算法化地测试多项式在多个平移算子作用下的平移等价性，以支持存在性准则？
• RQ4 三元有理函数的何种结构性质使其虽无法分解为真项，仍可能具有 telescoper？
• RQ5 是否存在一种通用的算法框架，用于检测双变量情形之外的 telescoper 存在性？

主要发现

• 三元有理函数存在 telescoper 的充要条件，等价于其导出的双变量有理函数的 $ ( au_y, au_z) $-可求和性。
• 本文为三元有理函数情形下的 telescoper 存在性提供了必要且充分的条件，推广了先前的双变量结果。
• 一个关键例子表明，$ f = 1/(x+y+z^2) $ 虽非真有理函数，但仍存在 telescoper，揭示了双变量情形下不存在的现象。
• 约化过程依赖于广义部分分式分解和平移等价性检测，后者可通过 [17, 19, 20] 中已知的算法求解。
• 该方法使三元有理函数中 Zeilberger 算法终止性的算法检测成为可能。
• 该类问题的可判定性现已确立，其解决方案依赖于最近解决的双变量可求和性问题。