[论文解读] Existence Results for the Continuous and Discontinuous Galerkin Time Stepping Methods for Nonlinear Initial Value Problems

Bärbel Holm, Thomas P. Wihler|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文建立了非线性初值问题在希尔伯特空间中连续与不连续伽辽金时间格式的广义存在性与唯一性结果，仅对非线性项施加连续性假设。关键贡献在于证明了离散解的存在性不依赖于多项式逼近阶数，仅依赖于足够小的局部时间步长。

ABSTRACT

We consider continuous and discontinuous Galerkin time stepping methods of arbitrary order as applied to nonlinear initial value problems in real Hilbert spaces. Our only assumption is that the nonlinearities are continuous; in particular, we include the case of unbounded nonlinear operators. Specifically, we develop new techniques to prove general Peano-type existence results for discrete solutions. In particular, our results show that the existence of solutions is independent of the local approximation order, and only requires the local time steps to be sufficiently small (independent of the polynomial degree). The uniqueness of (local) solutions is addressed as well. In addition, our theory is applied to finite time blow-up problems with nonlinearities of algebraic growth. For such problems we develop an adaptive time step algorithm for the purpose of numerically computing the blow-up time, and provide a convergence result.

研究动机与目标

• 建立非线性初值问题高阶连续与不连续伽辽金时间格式解的存在性与唯一性结果。
• 在非线性算子无Lipschitz或有界性假设的条件下，分析解存在性对时间步长与多项式阶数的依赖关系。
• 为具有代数增长非线性项的问题开发一种自适应时间步长算法，用于计算爆破时间。
• 为应用于有限时间爆破问题的自适应算法提供收敛性保证。

提出的方法

• 应用新颖的分析技术，证明实希尔伯特空间中离散伽辽金解的Peano型存在性结果。
• 仅以非线性项的连续性作为结构假设，允许处理无界算子。
• 通过足够小的局部时间步长实现解的存在性，且不依赖于多项式阶数，避免了稳定性或正则性约束。
• 基于局部误差控制，开发一种自适应时间步长策略，用于近似爆破时间。
• 在伽辽金框架下，结合能量估计与不动点论证，处理非线性演化方程。
• 在代数非线性项的爆破问题背景下，推导出自适应算法的收敛性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅假设非线性项连续的条件下，连续与不连续伽辽金时间格式对非线性初值问题是否总存在离散解？
• RQ2 离散解的存在性是否依赖于近似空间的多项式阶数？
• RQ3 能否严格证明自适应时间步长方法可用于计算具有代数增长非线性项的非线性演化问题的爆破时间？
• RQ4 在不依赖于近似阶数的前提下，局部时间步长的大小如何影响解的存在性？
• RQ5 为应用于爆破问题的自适应时间步长算法可建立何种收敛性保证？

主要发现

• 只要局部时间步长足够小，连续与不连续伽辽金方法的离散解均存在，且不依赖于多项式阶数。
• 解的存在性不依赖于局部近似阶数，仅依赖于时间步长大小。
• 在相同的非线性项连续性假设下，建立了局部解的唯一性。
• 为具有代数增长非线性项的问题开发了用于计算爆破时间的自适应时间步长算法。
• 在给定假设下，证明了该自适应算法收敛于真实的爆破时间。
• 该理论适用于连续的无界非线性算子，突破了经典Lipschitz设定的限制。