[论文解读] Existence results to a nonlinear p(k)-Laplacian difference equation

Mohsen Khaleghi Moghadam, Mustafa Avcı|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 6

一句话总结

本论文通过变分法研究了具有狄利克雷边界条件的离散各向异性 p(k)-拉普拉斯差分方程非平凡解的存在性。通过应用博南诺的两个局部极小定理，作者推导出参数 λ 的显式区间，使得至少存在一个非平凡弱解；在附加条件下，可保证至少存在三个不同的解。

ABSTRACT

In the present paper, by using variational method, the existence of non-trivial solutions to an anisotropic discrete non-linear problem involving p(k)-Laplacian operator with Dirichlet boundary condition is investigated. The main technical tools applied here are the two local minimum theorems for differentiable functionals given by Bonanno.

研究动机与目标

• 研究具有变指数和权函数的离散各向异性 p(k)-拉普拉斯两点边值问题非平凡解的存在性。
• 通过 p(k)-拉普拉斯算子将变分法扩展至具有非一致增长条件的离散问题。
• 确定参数 λ 的精确区间，使得该问题至少存在一个或三个不同的弱解。
• 提供非线性项 f(k, u) 的充分条件，通过强制性与紧致性论证确保解的存在性。
• 通过具体实例展示理论结果，包括对解区间进行数值验证。

提出的方法

• 将问题表述为包含变指数和权函数 w(k) 与 q(k) 的 p(k)-拉普拉斯算子的离散两点边值问题。
• 在一致凸的巴拿赫空间 W 上定义泛函 Iλ = Φ - λΨ，其中 Φ 为强制且弱下半连续，Ψ 为连续 Gâteaux 可微且其导数紧致。
• 应用博南诺的两个局部极小定理（定理 2.1 和定理 2.2）以建立 Iλ 的临界点，对应于弱解。
• 泛函 Φ 由 p(k)-拉普拉斯能量项及涉及 w(k) 和 q(k) 的势能项构成；Ψ 由非线性项 f(k, u) 的原函数导出。
• 在条件 α⁺ < p⁻ 下证明 Iλ 的强制性，从而保证在相关泛函空间中存在全局极小值点。
• 通过在特定次水平集上对 Ψ 和 Φ 的下确界与上确界进行分析，推导出 λ 的显式区间，进而得出解存在的判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于参数 λ 的哪些取值，具有狄利克雷边界条件的离散 p(k)-拉普拉斯问题至少存在一个非平凡弱解？
• RQ2 在非线性项 f(k, u) 和变指数 p(k) 满足何种条件下，可保证存在多个（至少三个）不同的弱解？
• RQ3 变指数 w(k) 和 q(k) 以及指数 p(k) 如何影响解的存在性与多重性？
• RQ4 能否利用变分技术与临界点理论推导出确保解存在的 λ 的显式区间？
• RQ5 增长条件 ∫₀ᵗ g(s)ds ≤ c₀(1 + t²) 在确保该问题解的存在性中起何种作用？

主要发现

• 当 λ ∈ ]7.469883186×10⁻¹⁷, ∞[ 时，问题至少存在一个非平凡弱解，如例 3.10 所验证。
• 当 λ ∈ ]7.469883186×10⁻¹⁷, 4.791870305×10⁻¹⁴[ 时，问题至少存在三个不同的弱解，如推论 3.9 和例 3.10 所示。
• 在条件 α⁺ < p⁻ 下，解的存在性得以保证，该条件确保了能量泛函 Iλ 的强制性。
• 由于 f(k, u) 的次临界增长，特别是当 ∫₀ᵗ g(s)ds ≤ c₀(1 + t²) 且 α⁺ < p⁻ 时，泛函 Iλ 具有强制性。
• λ 的区间 Λₖ 通过在子水平集上对 Ψ 和 Φ 的上确界与下确界进行计算而显式得出，其中 Λₖ = ]1/ρ₁(r₁,r₂), 1/β(r₁,r₂)[。
• 在例 3.10 中，当 T=10，p(k)= (2/11)k + 3，w(k)=e^{k(10−k)²}，q(k)=2ᵏ，且 f(k,x) = e^{(k+2)(k−13)}x/(x²+10⁻¹¹)² 时，条件 F1 和 F5 成立，从而在数值上验证了理论结果。