[论文解读] Existence theorems in linear chaos

Stanislav Shkarin|ArXiv.org|Oct 7, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文建立了在各种拓扑向量空间上混沌线性动力系统的存在性定理，刻画了可数归纳极限的可分巴拿ach空间和弗雷chet空间在何种条件下支持超循环或混合算子。证明了当且仅当一个可分无限维复弗雷chet空间不与序列空间 $\omega$ 同构时，它才存在非混合超循环算子，并表明 $\omega$ 上的任何强连续半群都不可能是超循环的。该工作扩展了萨拉斯关于恒等算子的后移扰动的超循环性定理，并刻画了在一大类弗雷chet空间中的对偶超循环性。

ABSTRACT

Chaotic linear dynamics deals primarily with various topological ergodic properties of semigroups of continuous linear operators acting on a topological vector space. We treat questions of characterizing which of the spaces from a given class support a semigroup of prescribed shape satisfying a given topological ergodic property. In particular, we characterize countable inductive limits of separable Banach spaces that admit a hypercyclic operator, show that there is a non-mixing hypercyclic operator on a separable infinite dimensional complex Fréchet space $X$ if and only if $X$ is non-isomorphic to the space $ω$ of all sequences with coordinatewise convergence topology. It is also shown for any $k\in\N$, any separable infinite dimensional Fréchet space $X$ non-isomorphic to $ω$ admits a mixing uniformly continuous group $\{T_t\}_{t\in C^n}$ of continuous linear operators and that there is no supercyclic strongly continuous operator semigroup $\{T_t\}_{t\geq 0}$ on $ω$. We specify a wide class of Fréchet spaces $X$, including all infinite dimensional Banach spaces with separable dual, such that there is a hypercyclic operator $T$ on $X$ for which the dual operator $T'$ is also hypercyclic. An extension of the Salas theorem on hypercyclicity of a perturbation of the identity by adding a backward weighted shift is presented and its various applications are outlined.

研究动机与目标

• 刻画哪些拓扑向量空间支持具有指定拓扑遍历性质（如超循环性或混合性）的半群。
• 确定可分无限维弗雷chet空间在何种结构条件下存在非混合超循环算子。
• 研究在特定函数空间（如 $\omega$）上混合一致连续群和超循环半群的存在性。
• 将萨拉斯关于恒等算子的后移扰动的超循环性定理推广至更广泛的算子类。
• 刻画在弗雷chet空间上，算子及其对偶算子均为超循环的条件，尤其关注对偶空间可分的情形。

提出的方法

• 使用归纳极限拓扑分析由嵌套可分巴拿ach空间并集构成的空间。
• 应用对偶理论与弱拓扑研究弗雷chet空间中的超循环性与超循环性。
• 采用加权移位算子（特别是双边与后移算子）作为模型算子，以构造混沌动力系统。
• 利用对称性与等距相似性论证，排除在对称权下存在实循环性与弱超循环性。
• 借助Mackey–Arens定理及强/弱拓扑分析对偶空间行为与算子性质。
• 通过不规则权序列将萨拉斯关于 $I + T_w$ 超循环性的定理推广至一般弗雷chet空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些可数归纳极限的可分巴拿ach空间，存在超循环算子？
• RQ2 在何种条件下，可分无限维弗雷chet空间 $X$ 存在非混合超循环算子，$\omega$ 同构性在其中起什么作用？
• RQ3 在 $\omega$ 上的强连续半群 $\{T_t\}_{t \geq 0}$ 是否可能为超循环？为什么不可能？
• RQ4 在弗雷chet空间 $X$ 的何种条件下，算子 $T$ 及其对偶 $T'$ 均为超循环？
• RQ5 $I + T_w$ 在 $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上的超循环性或超循环性是否依赖于 $p$？

主要发现

• 可数归纳极限的可分巴拿ach空间存在超循环算子，当且仅当它不与 $\omega$ 同构。
• 在可分无限维复弗雷chet空间 $X$ 上存在非混合超循环算子，当且仅当 $X$ 不与 $\omega$ 同构。
• 对任意 $k \in \mathbb{N}$，每个不与 $\omega$ 同构的可分无限维弗雷chet空间 $X$ 均存在一个混合一致连续群 $\{T_t\}_{t \in \mathbb{C}^k}$，由连续线性算子构成。
• $\omega$ 上不存在超循环的强连续算子半群 $\{T_t\}_{t \geq 0}$，即所有序列按坐标收敛的拓扑空间上不存在超循环半群。
• 对任意对偶空间可分的无限维巴拿ach空间，存在一个超循环算子 $T$ 作用于 $X$，使得其对偶算子 $T'$ 也是超循环的。
• 萨拉斯定理的推广成立：若权序列 $w$ 满足对任意正序列 $a$，有 $|w_n| \leq a_{|n|}$，则 $I + T_w$ 在 $\ell_2(\mathbb{Z})$ 上是超循环的。