[论文解读] Existence, uniqueness and ergodic properties for time-homogeneous It\^o-SDEs with locally integrable drifts and Sobolev diffusion coefficients

Haesung Lee, Gérald Trutnau|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用 10

一句话总结

本论文通过Lp空间中的椭圆与抛物型正则性理论及Dirichlet型形式理论，针对局部可积漂移项与Sobolev扩散系数的时间齐次Itô SDE，建立了路径唯一性与强解存在的结论。在最小假设下——漂移项属于Lp_loc(Rd)，扩散系数属于H^1,p_loc(Rd)（p > d）——证明了不可约性、L1 + L∞与Lq + L∞（q = dp/(d+p)）上的强Feller性质、矩不等式、非爆炸性准则，以及不变概率测度的存在性与唯一性。

ABSTRACT

Using elliptic and parabolic regularity results in $L^p$-spaces and generalized Dirichlet form theory, we construct for every starting point weak solutions to SDEs in $\mathbb{R}^d$ up to their explosion times including the following conditions. For arbitrary but fixed $p>d$ the diffusion coefficient $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le d}$ is locally uniformly strictly elliptic with functions $a_{ij}\in H^{1,p}_{loc}(\mathbb{R}^d)$ and the drift coefficient $\mathbf{G}=(g_1,\dots, g_d)$ consists of functions $g_i\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^d)$. The solution originates by construction from a Hunt process with continuous sample paths on the one-point compactification of $\mathbb{R}^d$ and the corresponding SDE is by a known local well-posedness result pathwise unique up to an explosion time. Just under the given assumptions we show irreducibility and the strong Feller property on $L^{1}(\mathbb{R}^d,m)+L^{\infty}(\mathbb{R}^d,m)$ of its transition function, and the strong Feller property on $L^{q}(\mathbb{R}^d,m)+L^{\infty}(\mathbb{R}^d,m)$, $q=\frac{dp}{d+p}\in (d/2,p/2)$, of its resolvent, which both include the classical strong Feller property. We present moment inequalities and classical-like non-explosion criteria for the solution which lead to pathwise uniqueness results up to infinity under presumably optimal general non-explosion conditions. We further present explicit conditions for recurrence and ergodicity, including existence as well as uniqueness of invariant probability measures.

研究动机与目标

• 建立时间齐次Itô SDE在漂移与扩散系数最小正则性假设下的路径唯一性与强解存在性。
• 在弱条件下（包括非紧状态空间与无界系数）证明转移半群的强Feller性质与不可约性。
• 为具有局部可积漂移与H^1,p_loc扩散系数的SDE推导显式的非爆炸性、常返性与遍历性准则。
• 构造一个候选不变概率测度，并在明确条件下证明其存在性与唯一性。
• 通过去除系数的全局有界性或Lipschitz条件等限制性假设，推广现有结果，尤其适用于无界与奇异漂移项。

提出的方法

• 利用与SDE生成元相关的二阶椭圆型算子在Lp空间中的椭圆与抛物型正则性理论。
• 应用广义Dirichlet型形式理论，在Rd的一点紧化空间上构造一个具有连续样本路径的Hunt过程。
• 通过在L1(Rd, m) + L∞(Rd)与Lq(Rd, m) + L∞(Rd)（其中q = dp/(d+p)）上的预解算子与转移半群，实现强Feller性质。
• 通过Lyapunov型函数与漂移及扩散系数的可积性条件，推导矩不等式与非爆炸性准则。
• 通过弱解构造与已知的局部适定性结果，结合强Feller与不可约性性质，建立路径唯一性。
• 应用广义Dirichlet型形式理论，推导不变测度的存在性，并在常返性与遍历性条件下证明其唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在漂移与扩散系数的何种最小正则性条件下，时间齐次Itô SDE存在路径唯一的强解？
• RQ2 在何种条件下可保证具有无界、局部可积系数的SDE的转移半群具有强Feller性质与不可约性？
• RQ3 能否为具有局部可积漂移与H^1,p_loc扩散系数（p > d）的SDE推导出显式的非爆炸性准则？
• RQ4 常返性与遍历性的充分条件是什么，包括不变概率测度的存在性与唯一性？
• RQ5 矩不等式与Lyapunov型函数在缺乏全局Lipschitz或有界性假设的情况下，如何促进非爆炸性与长期行为分析？

主要发现

• 对于漂移项G ∈ Lp_loc(Rd)与扩散系数aij ∈ H^1,p_loc(Rd)（p > d）的SDE，路径唯一的强解在爆炸时间前存在，且在非爆炸条件下可全局定义。
• 转移半群(Pt)t>0在L1(Rd, m) + L∞(Rd)上满足强Feller性质，且在Lq(Rd, m) + L∞(Rd)（其中q = dp/(d+p) ∈ (d/2, p/2)）上的预解算子也满足强Feller性质，从而蕴含经典强Feller性质。
• 在相同条件下建立了半群的不可约性，意味着过程可从任意初始点到达任意开集。
• 推导出显式的非爆炸性准则，包括涉及Ld+1(Rd)函数与对数项的增长条件，容许线性增长与奇异性。
• 论文构造了一个候选不变测度m，并在常返性与遍历性条件下证明了不变概率测度的存在性与唯一性。
• 推导出控制解增长的矩不等式，支持非爆炸性与长期行为分析。