[论文解读] Existence, uniqueness, and numerical approximations for stochastic Burgers equations

Mazzonetto, Sara, Salimova, Diyora|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文建立了一个统一框架，用于研究带时空白噪声的随机Burgers方程的解的存在性、唯一性、空间正则性以及数值逼近的强收敛性。通过采用完全显式的时空离散格式并推导路径依的先验估计，作者证明了该格式在 H̺ 中对 ̺ ∈ (1/8, 1/4) 几乎必然且强收敛于弱解，扩展了先前结果，实现了更优的收敛性保证与更精细的空间正则性分析。

ABSTRACT

In this paper we propose an all-in-one statement which includes existence, uniqueness, regularity, and numerical approximations of mild solutions for a class of stochastic partial differential equations (SPDEs) with non-globally monotone nonlinearities. The proof of this result exploits the properties of an existent fully explicit space-time discrete approximation scheme and, in particular, the fact that it satisfies suitable a priori estimates. As a byproduct we obtain almost sure and strong convergence of the approximation scheme to the mild solutions of the considered SPDEs. We conclude by applying the main result of the paper to the stochastic Burgers equations with space-time white noise.

研究动机与目标

• 建立一个统一框架，用于研究非全局单调非线性项的SPDEs的解的存在性、唯一性、空间正则性及数值逼近的收敛性。
• 解决SPDEs中具有超线性增长非线性项的数值格式的强收敛与几乎必然收敛挑战，如随机Burgers方程。
• 通过证明近似格式的路径依先验估计，扩展现有结果，确保解在 H̺ 中的正则性，其中 ̺ ∈ (1/8, 1/4)。
• 将该抽象框架应用于由时空白噪声驱动的随机Burgers方程，确认在适当正则性空间中弱解的存在性与唯一性。

提出的方法

• 该方法采用完全显式的时空离散、非线性项截断的加速指数欧拉型格式，适用于具有超线性增长非线性项的SPDEs。
• 利用 Jentzen 等人 [2019, 推论 2.6] 的结果以及 Jentzen 等人 [2018, 推论 8.4] 的巴拿赫空间值演化方程理论，推导了近似过程的路径依先验估计。
• 证明了该格式满足适当的先验界，保证不爆炸，并确保解取值于 H̺，其中 ̺ ∈ (1/8, 1/4)，从而体现空间正则性。
• 收敛性分析依赖于 Jentzen 等人 [2019, 定理 3.5] 的强收敛结果，该结果在非线性项具有额外正则性条件（不等式 (3.1)）下适用。
• 通过在 H = L²((0,1); ℝ)，A = 满足狄利克雷边界条件的拉普拉斯算子，以及 F(v) = c₁v² 的设定下，验证抽象条件，将该框架应用于随机Burgers方程。
• 证明使用谱分解，并涉及插值空间 Hr 的估计，特别是通过 ∥v∥²H 对 ∥F(v)∥H−γ 进行有界控制，其中 r > 3/4。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个统一框架，能够同时建立非全局单调非线性项SPDEs弱解的存在性、唯一性、空间正则性及收敛性？
• RQ2 完全显式的时空离散格式是否几乎必然且强收敛于带时空白噪声的随机Burgers方程的弱解？
• RQ3 在给定条件下，随机Burgers方程弱解的最优空间正则性（以 H̺ 表示）为何？
• RQ4 近似格式的路径依先验估计如何确保解过程不爆炸并保证全局存在性？

主要发现

• 本文证明了带时空白噪声的随机Burgers方程的弱解存在且唯一，且其取值属于 H̺，其中任意 ̺ ∈ (1/8, 1/4)。
• 所提出的数值格式几乎必然且强收敛于弱解，且对所有 p ∈ (0, ∞)，有 lim supₙ→∞ supₜ∈[0,T] E[∥Xₜ − Xₙₜ∥ᵖᴴ] = 0。
• 该格式为完全显式且非线性项被截断，确保了计算可行性，同时在给定正则性假设下保持强收敛性。
• 证明表明解过程在 H̺ 中有界，这意味着解是连续的，并取值于 C((0,1); ℝ) 的子空间。
• 作者恢复并扩展了先前结果，包括 Jentzen 等人 [2019, 推论 5.6] 中关于随机Burgers方程的强收敛性，现扩展为几乎必然收敛性，并实现了更优的正则性分析。
• 该框架具有足够的通用性，可同样恢复随机Kuramoto-Sivashinsky方程与Allen-Cahn方程的存在性与唯一性，以及二维随机Navier-Stokes方程在相同条件下的结果。