[论文解读] Existence, uniqueness, estimation and continuous dependence of the solutions of a nonlinear integral and an integrodifferential equations of fractional order

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 30被引用 10

一句话总结

本论文通过使用 $ψ$-Hilfer 分数阶导数，建立了非线性分数阶 Volterra 积分方程与积分微分方程解的存在性、唯一性、估计及其连续依赖性。通过引入一种专门设计的范数并利用分数阶积分不等式，作者证明了解的稳定性，并推导出涉及 Mittag-Leffler 函数的显式界，推动了广义非线性系统分数阶微积分理论的发展。

ABSTRACT

By means of two fractional order integral inequalities we investigate the existence and uniqueness of the solutions of the fractional nonlinear Volterra integral equation and a fractional nonlinear integrodifferential equation in Banach space $C_ξ$, using an adequate norm, $||\cdot||_{ξ,\infty}$. We estimate the solutions and investigate their continuous dependence.

研究动机与目标

• 在 Banach 空间 $C_{\xi}$ 中建立非线性分数阶 Volterra 积分方程与积分微分方程解的存在性与唯一性。
• 利用分数阶积分不等式与 Mittag-Leffler 函数，推导解的显式估计。
• 在 $ψ$-Hilfer 分数阶导数的框架下，研究解对初值与参数的连续依赖性。
• 通过引入定制化的范数与度量结构，推广分数阶积分方程的解析结果。
• 为分数阶微积分理论，特别是涉及广义分数阶导数的非线性系统，提供理论基础。

提出的方法

• 作者在 Banach 空间 $C_{\xi}$ 上定义了一种新范数 $||\cdot||_{\xi,\infty}$ 及其度量，以分析解的行为。
• 他们运用两个关键的分数阶积分不等式（引理 4 和 5）以及一个涉及 Mittag-Leffler 函数的推论，以界定解之间的差异。
• 分析中使用了 $ψ$-Hilfer 分数阶导数与 $ψ$-Riemann-Liouville 积分，以建模非线性积分与积分微分方程。
• 在非线性项满足 Lipschitz 条件与有界性条件下，通过压缩型论证推导出解的估计。
• 通过利用 Mittag-Leffler 函数，将解的差异以参数与初值扰动的形式进行有界控制，从而证明连续依赖性。
• 该框架被应用于具有初值条件的分数阶积分方程（1.1）与分数阶积分微分方程（1.2）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带有 $ψ$-Hilfer 导数的非线性分数阶 Volterra 积分方程在 $C_{\xi}$ 中存在唯一解？
• RQ2 如何利用分数阶积分不等式对非线性分数阶积分方程的解进行估计？
• RQ3 非线性分数阶积分微分方程的解如何对初值与参数实现连续依赖？
• RQ4 Mittag-Leffler 函数在量化解的稳定性与误差界中起到何种作用？
• RQ5 所提出的范数与度量结构能否确保分数阶积分微分问题解空间的完备性与收敛性？

主要发现

• 在适当的 Lipschitz 条件与有界性条件下，分数阶积分方程（1.1）在 Banach 空间 $C_{\xi}$ 中存在唯一解。
• 推导出显式解估计：$||x||_{\xi,\infty} \leq \frac{M}{1 - \overline{N}}$，其中 $M$ 为非线性项的上界，$\overline{N} < 1$ 为 Lipschitz 常数。
• 对于连续依赖性，解 $z_1(t)$ 与 $z_2(t)$ 之间的差异满足：$|z_1(t) - z_2(t)| \leq \frac{Q|\mu - \mu_0|}{1 - \overline{N}} \mathbb{E}_{\alpha}\left[\frac{\overline{N}}{1 - \overline{N}} r(t,t)(\psi(t) - \psi(a))^\alpha\right]$。
• 连续依赖性结果被推广至参数依赖系统，得到一个包含 Mittag-Leffler 函数的界：$|z_1(t) - z_2(t)| \leq Q|\mu - \mu_0| \mathbb{E}_{\alpha}\left\{\overline{p}(t)\Gamma(\alpha) \mathbb{E}_{\alpha}(\overline{r}(t,t)\Gamma(\alpha)(\psi(t) - \psi(a))^\alpha)(\psi(t) - \psi(a))^\alpha\right\}$。
• 结果适用于一般的 $ψ$-Hilfer 分数阶导数，将先前工作推广至更广泛的分数阶微分方程类别。
• 理论框架基于一种新范数与度量，确保了解空间的完备性，并支持对解稳定性进行严格分析。