[论文解读] Existence, Uniqueness of Positive Solution to a Fractional Laplacians with Singular Nonlinearity

Yanqin Fang|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用 16

一句话总结

本文证明了在光滑有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 中，对满足 $0 < s < 1$ 且 $0 < p < 1$ 的参数，分数阶拉普拉斯方程 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$ 存在唯一正经典解。通过在正则化逼近问题上使用上下解方法，并借助已知的 $L^\infty$ 估计获得弱解的正则性，作者证明了解收敛到一个在 $\Omega$ 内为正、在 $\partial\Omega$ 上为零的经典解。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence and uniqueness of positive classical solution of the fractional Laplacian with singular nonlinearity in a smooth bounded domain with zero Drichlet boundary conditions. By the method of sub-supersolution, we derive the existence of positive classical solution to the approximation problems. In order to obtain the regularity, we first establish the existence of weak solution for the fraction Laplacian. Thanks to \cite{XY}, the regularity follows from the boundedness of weak solution.

研究动机与目标

• 建立分数阶拉普拉斯方程 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$ 在光滑有界区域中存在唯一正经典解。
• 将经典的上下解方法推广至具有奇异项的分数阶拉普拉斯非局部情形。
• 弥合文献中关于奇异分数阶椭圆问题存在性与唯一性结果的空白。
• 证明正则化解的极限属于 $C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$，且为经典解。
• 证明解在 $\Omega$ 内严格为正，并在 $\partial\Omega$ 上趋于零。

提出的方法

• 通过用 $(\epsilon + u)^{-p}$ 替换 $u^{-p}$ 对奇异非线性项进行正则化，构造逼近问题。
• 应用上下解方法：取 $0$ 作为下解，取 $(-\Delta)^s w = \epsilon^{-p}$ 的解作为上解。
• 证明对足够小的 $\epsilon > 0$，正则化问题存在唯一经典解 $u_\epsilon$。
• 证明 $u_\epsilon$ 关于 $\epsilon$ 单调递增，且在 $L^\infty(\Omega)$ 中一致有界，从而保证当 $\epsilon \to 0^+$ 时收敛。
• 利用 Caffarelli-Silvestre 扩展将 $(-\Delta)^s u$ 表示为 Dirichlet-to-Neumann 映射，从而在 $H^1_{0,L}(y^{1-2s})$ 中建立弱形式。
• 通过 $H^1_{0,L}(y^{1-2s})$ 中的弱收敛性与控制收敛定理取极限，得到弱解 $u$，随后证明其正则性与经典性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑有界区域中，分数阶拉普拉斯方程 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$ 是否存在正经典解？
• RQ2 在给定条件下，正解是否唯一？
• RQ3 经典的上下解方法能否适用于具有奇异项的分数阶拉普拉斯非局部情形？
• RQ4 极限解具有何种正则性？能否证明其属于 $C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$？
• RQ5 解在 $\Omega$ 内是否保持有界且为正，并在 $\partial\Omega$ 上趋于零？

主要发现

• 对任意满足 $0 < s < 1$ 且 $0 < p < 1$ 的参数，存在唯一正经典解 $u \in C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$，满足分数阶拉普拉斯方程 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$，且在 $\Omega$ 上满足零 Dirichlet 边界条件。
• 该解是正则化问题 $(-\Delta)^s u_\epsilon = (\epsilon + u_\epsilon)^{-p}$ 的解 $u_\epsilon$ 在 $\epsilon \to 0^+$ 时的一致极限。
• 序列 $\{u_\epsilon\}$ 关于 $\epsilon$ 递增，且对足够小的 $\epsilon$，$\|u_\epsilon\|_{L^\infty(\Omega)}$ 一致有界。
• 极限解 $u$ 属于 $H^s_0(\Omega)$ 中的弱解，其正则性通过已知的弱解正则性结果提升至 $C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$。
• 通过反证法证明经典解的唯一性：假设存在两个不同的解，将在某最小值点违反最大值原理。
• 解满足 $u > 0$ 在 $\Omega$ 内，且 $u = 0$ 在 $\partial\Omega$ 上，与边界条件及问题结构一致。