[论文解读] Existential questions in (relatively) hyperbolic groups {\it and} Finding relative hyperbolic structures

François Dahmani|arXiv (Cornell University)|May 16, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文证明了在相对于具有可判定存在理论的子群的无挠群中，带参数的存在理论的可判定性——特别是具有几乎阿贝尔的帕拉博利克子群的群。它提出了一种算法，通过结合字问题的解法、阿贝尔子群的检测以及线性等周不等式的验证，来识别相对于阿贝尔子群的双曲群。

ABSTRACT

This arXived paper has two independant parts, that are improved and corrected versions of different parts of a single paper once named "On equations in relatively hyperbolic groups". The first part is entitled "Existential questions in (relatively) hyperbolic groups". We study there the existential theory of torsion free hyperbolic and relatively hyperbolic groups, in particular those with virtually abelian parabolic subgroups. We show that the satisfiability of systems of equations and inequations is decidable in these groups. In the second part, called "Finding relative hyperbolic structures", we provide a general algorithm that recognizes the class of groups that are hyperbolic relative to abelian subgroups.

研究动机与目标

• 证明在无挠相对双曲群中，特别是具有几乎阿贝尔帕拉博利克子群的群中，带参数的存在理论的可判定性。
• 提供一种通用算法，从有限表示出发，识别出相对于阿贝尔子群的双曲群。
• 为无挠双曲群中丢番图理论与存在理论的可判定性提供一种替代且可能更简单的证明。
• 通过统一方法重新推导极限群与完全剩余自由群中方程求解的结果。
• 为相对双曲群中帕拉博利克子群的识别与精确相对表示的构造提供一种可构造的方法。

提出的方法

• 利用相对双曲群在具有不相交广义球面的格罗莫夫双曲空间上的作用，其稳定子群即为帕拉博利克子群。
• 利用自动群中的字问题解法（通过Todd-Coxeter与自动结构算法）来测试有限个群元素之间的交换性与挠性。
• 枚举由群元素的有限两两交换子集生成的候选阿贝尔子群，并通过字问题解法检查其阶。
• 通过基于挠性检查为生成元赋值阶，构建候选相对表示，确保与群结构的一致性。
• 应用算法验证所提出的相对表示是否满足线性等周不等式，从而表明其精确性与相对双曲性。
• 利用双曲常数与德恩函数估计，界定范坎彭图的复杂性，并枚举锥化后的凯莱图中的简单环路。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相对于具有可判定存在理论的子群的无挠群中，带参数的存在理论是否可判定？
• RQ2 是否存在一种算法，可判定给定的有限表示是否定义了一个相对于阿贝尔子群的双曲群？
• RQ3 能否从有限表示中算法性地确定相对双曲群中帕拉博利克子群的结构？
• RQ4 无挠双曲群中丢番图理论的可判定性是否可由适用于相对双曲群的一般框架推导而出？
• RQ5 此类群中方程与不等式组的解集能否被算法性地描述或界定其复杂度？

主要发现

• 在任意相对于具有可判定存在理论的子群的无挠群中，带参数的存在理论是可判定的。
• 在所有无挠双曲群中，带参数的存在理论是可判定的，通过一种不同的方法重新获得了斯拉（Sela）的结果。
• 对于相对于阿贝尔子群的双曲群，存在一种算法，可从有限表示中识别出相对双曲结构。
• 通过枚举交换的有限集合并验证不存在阶小于或等于给定界限的元素，该算法可检测极大阿贝尔子群。
• 当所提出的表示满足线性等周不等式且阿贝尔子群映射为单射时，可识别出精确的相对表示。
• 可有效计算锥化后的凯莱图的双曲常数以及有界长度的简单环路列表，从而实现相对双曲性的算法验证。