[论文解读] Exit Probabilities for a Chain of Distributed Control Systems with Small Random Perturbations

Getachew K. Befekadu, Panos J. Antsaklis|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2014

Petri Nets in System Modeling参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文为具有小随机扰动的分布式控制系统链中扩散过程的出口概率提出了一种渐近估计。通过将出口概率解释为随机控制问题中的值函数，基于大偏差理论推导出边界，刻画了扰动在系统中传播的方式，表明当噪声强度 ε→0 时，出口概率呈指数衰减。

ABSTRACT

In this paper, we consider a diffusion process pertaining to a chain of distributed control systems with small random perturbation. The distributed control system is formed by n subsystems that satisfy an appropriate Hormander condition, i.e., the second subsystem assumes the random perturbation entered into the first subsystem, the third subsystem assumes the random perturbation entered into the first subsystem then was transmitted to the second subsystem and so on, such that the random perturbation propagates through the entire distributed control system. Note that the random perturbation enters only in one of the subsystems and, hence, the diffusion process is degenerate, in the sense that the backward operator associated with it is a degenerate parabolic equation. Our interest is to estimate the exit probability with which a diffusion process (corresponding to a particular subsystem) exits from a given bounded open domain during a certain time interval. The method for such an estimate basically relies on the interpretation of the exit probability function as a value function for a family of stochastic control problems that are associated with the underlying chain of distributed control systems.

研究动机与目标

• 估计在小随机扰动下，分布式控制系统链中扩散过程退出有界区域的概率。
• 分析仅第一子系统直接受扰动时，随机扰动如何通过级联子系统逐级传播，影响后续子系统。
• 利用大偏差原理与随机控制理论，刻画系统退出时间的行为特征。
• 在噪声水平 ε 趋近于零时，建立出口概率的统一渐近边界。

提出的方法

• 将系统建模为 n 维扩散过程，其中仅第一子系统直接接收噪声，后续子系统通过状态相关动力学继承扰动。
• 应用 Hörmander 条件以确保关联退化抛物后向算子的强非退化性与适定性。
• 将出口概率函数解释为一族随机控制问题的值函数，从而可应用动态规划原理。
• 利用 Ventcel-Freidlin 渐近估计，在小噪声极限下推导出口概率的上下界。
• 引入罚函数 Φ_M，通过验证动态规划不等式，构造出口概率的下界。
• 证明出口概率率函数 I^ε,ℓ 在状态空间的紧子集上一致收敛至其零噪声极限 I^0,ℓ。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅第一子系统直接受扰动时，小随机扰动在仅第一子系统直接受扰动的分布式控制系统链中如何传播？
• RQ2 当噪声强度 ε→0 时，此类系统中子系统的出口概率的渐近行为如何？
• RQ3 子系统的出口概率能否在随机控制框架下被表征为值函数？
• RQ4 在小噪声条件下，系统从有界区域退出的时间的大偏差估计是什么？
• RQ5 链的结构（如顺序依赖性）如何影响出口概率率函数？

主要发现

• 当 ε→0 时，出口概率呈指数衰减，衰减速率由大偏差率函数 I^ε,ℓ 决定。
• 当 ε→0 时，率函数 I^ε,ℓ 在状态空间的紧子集上一致收敛至其零噪声极限 I^0,ℓ。
• 利用退化扩散的 Ventcel-Freidlin 估计，建立了出口概率的上界。
• 通过罚函数方法与动态规划不等式验证，推导出出口概率的下界。
• 证明出口概率函数是随机控制问题的值函数，从而可通过动态规划实现解析处理。
• 结果提供了系统在退出预定区域前在区域内停留时间的渐近信息。