[论文解读] Exit times for an increasing Lévy tree-valued process

Romain Abraham, Jean‐François Delmas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 9

一句话总结

该论文通过在生长树的叶节点上依次嫁接随机点过程生成的树，利用泊松跳跃结构，显式构造了一个递增的 Lévy 树值过程。利用 Girsanov 变换和 Lévy 树的局部时点测度，推导了树超过给定高度时的首次首出时间与首次无限跳跃的上升时间的联合分布。

ABSTRACT

We give an explicit construction of the increasing tree-valued process introduced by Abraham and Delmas using a random point process of trees and a grafting procedure. This random point process will be used in companion papers to study record processes on Lévy trees. We use the Poissonian structure of the jumps of the increasing tree-valued process to describe its behavior at the first time the tree grows higher than a given height. We also give the joint distribution of this exit time and the ascension time which corresponds to the first infinite jump of the tree-valued process.

研究动机与目标

• 通过随机点过程的树和嫁接机制，显式构造 Abraham 和 Delmas 提出的递增 Lévy 树值过程。
• 通过其纯跳跃结构和泊松跳跃动力学，刻画该过程的无穷小行为。
• 确定树首次超过某一高度水平的首出时间与该过程中首次出现无限跳跃的上升时间的联合分布。
• 在生长树值马尔可夫过程的背景下，拓展对 Lévy 树在 Girsanov 变换和局部时点测度下的理解。

提出的方法

• 通过在生长树的随机选择的叶节点上嫁接服从 ${\mathbf{N}}^{\psi_{\theta}}[{\mathcal{T}}\in\bullet]$ 分布的树来构造过程，其中选择由质量测度 ${\mathbf{m}}^{{\mathcal{T}}}$ 加权。
• 通过随机点测度 $\mathcal{N} = \sum_{j\in J} \delta_{(\theta_j, x_j, \mathcal{T}^j)} 描述无穷小转移，其中跳跃发生在时间 $\theta_j$，树 $\mathcal{T}^j$ 被嫁接在叶节点 $x_j$ 上。
• 跳跃强度由局部时点测度 $\mathbb{N}^{\psi_\theta}$ 和 Lévy 测度 $\Pi$ 导出，通过 $\psi_\theta(\lambda) = \psi(\theta + \lambda) - \psi(\theta)$ 对分支机制进行平移。
• 利用 Girsanov 变换和修剪过程的特殊马尔可夫性质，计算首出时间与上升时间的联合分布。
• 使用随机测度的拉普拉斯变换来刻画过程的分布，特别是脊柱结构和高度过程。
• 关键恒等式涉及在 $\mathbb{N}^\psi$ 下对泛函 $F$ 的期望通过 $\theta$ 和 $a$ 的积分表达，其中强度测度为 $\gamma_\theta(b^\theta(h-a))$，且在 $[0,h] \times \mathbb{T}$ 上存在泊松点过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过嫁接树的点过程显式构造递增的 Lévy 树值过程？
• RQ2 该过程的无穷小结构是什么，特别是其跳跃动力学和泊松跳跃机制如何？
• RQ3 树首次超过给定高度的首出时间与首次出现无限跳跃的上升时间的联合分布是什么？
• RQ4 Girsanov 变换如何关联原始与变换后分支机制的局部时点测度？
• RQ5 脊柱和质量测度在刻画高度过程与首出时间方面起什么作用？

主要发现

• 递增的 Lévy 树值过程被构造为一个纯跳跃过程，其中树按照 $\mathbf{N}^{\psi_\theta}$ 导出的强度，通过泊松点过程嫁接在随机叶节点上。
• 无穷小转移机制完全由跳跃的泊松结构刻画，每个跳跃对应于在随机叶节点上独立嫁接一个服从 $\mathbf{N}^{\psi_{\theta_j}}$ 分布的树。
• 利用 Girsanov 变换和恒等式 $\mathbb{N}^\psi[F(\mathcal{T}_{A_h}; \mathcal{T}_{A_h-})g(A_h)] = \int_{\Theta^\psi} d\theta \, g(\theta) \int_0^h da \, \gamma_\theta(b^\theta(h-a)) \exp\left(-\psi'(\theta)a - \int_0^a dx \, \gamma_\theta(b^\theta(h-x))\right) \mathbb{E}\left[\tilde{F}\left(a, \sum_{i\in I} \mathbf{1}_{\{z_i \leq a\}} \delta_{(z_i, \tilde{\mathcal{T}}^i)}\right)\right]$ 推导出首出时间 $A_h$ 与上升时间的联合分布。
• 首出时间 $A_h$ 的分布通过强度 $\gamma_\theta(b^\theta(h-a))$ 刻画，该强度捕捉了导致高度 $h$ 的跳跃速率。
• 脊柱结构（被识别为区间 $[0, H_x]$）使得可以使用拉普拉斯变换来计算涉及高度过程和质量测度的期望。
• 结果建立了高度过程与嫁接树的泊松点过程之间的联系，表明该过程的分布完全由强度测度 $\nu_\theta$ 和函数 $b^\theta(h)$ 决定。