[论文解读] Exotic arithmetic structure on the first Hurwitz triplet

Lei Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文确立了首个Hurwitz三元组——三个亏格为14的黎曼曲面，其最大自同构群阶为84(14−1)=1176——具有两种不同的算术结构：一种是定义在ℚ(cos(2π/7))上的13级同余Shimura曲线，另一种是定义在同一域上的7级非同余模曲线。关键发现是，第三条曲线Y₃上的非同余模形式与ℚ(e²πi/13)上的Hilbert模形式之间存在一种'奇异对偶性'，揭示了与Monster群、G₂以及14度模方程的深层联系。

ABSTRACT

We find that the first Hurwitz triplet possesses two distinct arithmetic structures. As Shimura curves $X_1$, $X_2$, $X_3$, whose levels are with norm 13. As non-congruence modular curves $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, whose levels are 7. Both of them are defined over ${\Bbb Q}(\cos \frac{2 π}{7})$. However, for the third non-congruence modular curve $Y_3$, there exist an "exotic" duality between the associated non-congruence modular forms and the Hilbert modular forms, both of them are related to ${\Bbb Q}(e^{\frac{2 πi}{13}})$! Our results have relations and applications to modular equations of degree fourteen (including Jacobian modular equation and "exotic" modular equation), "triality" of the representation of $PSL(2, 13)$, Haagerup subfactor, geometry of the exceptional Lie group $G_2$, and even the Monster finite simple group ${\Bbb M}$!

研究动机与目标

• 揭示首个Hurwitz三元组存在的另一种算术解释，其经典构造源于ℚ(cos(2π/7))整数环中13级同余子群。
• 证明同一三元组可作为定义在相同域ℚ(cos(2π/7))上的7级非同余模曲线Y₁, Y₂, Y₃实现。
• 建立Y₃上非同余模形式与ℚ(e²πi/13)上Hilbert模形式之间的'奇异对偶性'。
• 探讨这种奇异算术结构对14度模方程、PSL(2,13)表示理论以及与例外李群和Monster群联系的影响。

提出的方法

• 通过ℚ(cos(2π/7))整数环中13级主同余子群，构造首个Hurwitz三元组为Shimura曲线X₁, X₂, X₃。
• 利用双曲群统一化曲线，将三元组实现为定义在ℚ(cos(2π/7))上的7级非同余模曲线Y₁, Y₂, Y₃。
• 定义包含变量δ∞, δν（ν=0,…,12）的14变量代数系统，并构造对称多项式𝔾₀至𝔾₁₂以编码模不变量。
• 证明对称多项式𝔾₀在PSL(2,13)中阶为78的极大子群作用下不变，并证明∑δν + δ∞ = 0。
• 从关系式∑δν² + δ∞² = 26(7·13²𝔾₀² + ∑𝔾ᵢ𝔾₁₂₋ᵢ)推导出一个'奇异14度模方程'，该方程非雅可比模方程。
• 建立由M = 7·13²𝔾₀² + ∑𝔾ᵢ𝔾₁₂₋ᵢ = 0定义的代数簇（ℙ¹³中12维4次曲面）与Monster群的极大13局部子群N(13B²)之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 首个Hurwitz三元组是否不仅能作为同余Shimura曲线实现，也能作为具有不同水平结构的非同余模曲线实现？
• RQ2 Y₃上非同余模形式与ℚ(e²πi/13)上Hilbert模形式之间的对偶性本质为何？
• RQ3 由δν中对称多项式导出的奇异14度模方程，与经典雅可比模方程有何不同？
• RQ4 由M = 0定义的12维代数簇与Monster群的极大13局部子群N(13B²)之间有何联系？
• RQ5 PSL(2,13)的六维与七维表示如何与雅可比模方程及奇异对偶性相关？

主要发现

• 首个Hurwitz三元组具有两种不同的算术结构：作为13级Shimura曲线X₁, X₂, X₃，以及作为7级非同余模曲线Y₁, Y₂, Y₃，二者均定义在ℚ(cos(2π/7))上。
• 对于第三条非同余曲线Y₃，存在一种'奇异对偶性'，将其非同余模形式与ℚ(e²πi/13)上的Hilbert模形式联系起来。
• 通过对称多项式关系∑δν² + δ∞² = 26(7·13²𝔾₀² + ∑_{i=0}^{6} 𝔾ᵢ𝔾₁₂₋ᵢ)构造出一个奇异14度模方程，该方程非雅可比方程。
• 由M = 7·13²𝔾₀² + ∑_{i=0}^{12} 𝔾ᵢ𝔾₁₂₋ᵢ = 0定义的代数簇是ℙ¹³中12维4次代数曲面，关于PSL(2,13)不变，且与Monster群的极大13局部子群N(13B²)相关。
• 对称多项式𝔾₀至𝔾₁₂被显式计算为δ₀, δ₁, ..., δ₁₂, δ∞的二次型，且𝔾₀在PSL(2,13)中阶为78的极大子群作用下不变。
• 关系式∑_{ν=0}^{12} δν + δ∞ = 0 成立，表明14变量系统不产生雅可比模方程，从而确认了该方程的'奇异'性质。