[论文解读] Exotic automorphisms of the Schouten algebra of polyvector fields

Sergei Merkulov|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用 25

一句话总结

该论文通过使用上半平面中 $ n $ 个点的配置空间的新紧化 $\widehat{C}_{n,0}$，构造了 $\mathbb{R}^d$ 上多向量场的 Schouten 代数的奇异 ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-自同构。这些自同构通过 $\widehat{C}_{n,0}$ 上对 $\widehat{C}_{2,0}$ 上闭的极小 1-形式 $\omega$ 的拉回形式的积分来定义，权重由 $ n $ 个顶点、$ 2n-2 $ 条边的图的和给出，从而产生对 Schouten 李括号的普遍且与维度无关的形变。

ABSTRACT

Using a new compactification of the (braid) configuration space of n points in the upper half plane we construct a family of exotic Lie-infinity automorphisms of the Schouten algebra of polyvector fields on an affine space depending on a Kontsevich type propagator.

研究动机与目标

• 构造 $\mathbb{R}^d$ 上多向量场的 Schouten 代数的新一族 ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-自同构，其为维度无关的普遍形式，并依赖于传播子的选择。
• 定义上半平面上 $ n $ 个互异点的配置空间的新紧化 $\widehat{C}_{n,0}$，其在 $ n \geq 3 $ 时与 Kontsevich 的原始紧化不同。
• 通过基于图的积分，建立 $\widehat{C}_{n,0}$ 上 de Rham 场论与 Schouten 代数的奇异自同构之间的联系。
• 将新紧化几何化并解释为 ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-代数的 ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-同态的二色 dg 操作代数。
• 通过引入新类的传播子及其相关自同构，推广先前关于 Kontsevich 形式性同构的结果。

提出的方法

• 该构造使用上半平面上 $ n $ 个点的配置空间的新紧化 $\widehat{C}_{n,0}$，其具有半代数结构，并配备一个到 $\widehat{C}_{2,0}$ 的重整化遗忘映射。
• 对于 $\mathfrak{G}_{n,2n-2}$ 中的每张图 $\Gamma$（即 $ n $ 个顶点、$ 2n-2 $ 条边的图），权重 $\mathrm{C}_\Gamma$ 定义为积分 $\int_{\widehat{C}_{n,0}} \bigwedge_{e \in \mathrm{Edges}(\Gamma)} \frac{{\mathfrak{p}}_e^*(\omega)}{2\pi}$，其中 $\omega$ 是 $\widehat{C}_{2,0}$ 上具有指定边界行为的闭的极小 1-形式。
• 自同构分量 $F_n^{\mathcal{L}\mathrm{ie}}$ 定义为求和 $\sum_{\Gamma \in \mathfrak{G}_{n,2n-2}} \mathrm{C}_\Gamma \Phi_\Gamma$，其中 $\Phi_\Gamma$ 是通过 $\Gamma$ 经由张量积和 Schouten 括号的简单过程构造的线性映射。
• 该方法依赖于 $\overline{C} \sqcup \widehat{C}$ 上的 de Rham 场论，其中权重由角函数和规范等价的传播子导出，确保同伦等价性和拟同构性质。
• $\widehat{C}_{n,0}$ 的面复形被解释为 ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-同态的二色 dg 操作代数，为自同构构造提供了几何基础。
• 通过将图族扩展至包含 $ 2n-3 $ 条边并使用不同的紧化，该框架可推广至 ${\mathcal{L}}eib_{\infty}$-自同构，从而产生更广泛的形变类。

实验结果

研究问题

• RQ1 上半平面上配置空间的新紧化是否能产生 Schouten 代数的新的 ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-自同构？
• RQ2 自同构公式中图贡献的权重如何依赖于 $\widehat{C}_{2,0}$ 上闭的极小 1-形式 $\omega$ 的选择？
• RQ3 新紧化 $\widehat{C}_{n,0}$ 的背后操作代数结构是什么？它与 ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-同态有何关系？
• RQ4 通过修改图族和紧化方式，该构造能否推广至产生 ${\mathcal{L}}eib_{\infty}$-自同构？
• RQ5 重整化遗忘映射在联系 $\widehat{C}_{n,0}$ 与 $\widehat{C}_{2,0}$ 中起什么作用，从而使得权重 $\mathrm{C}_\Gamma$ 得以定义？

主要发现

• 该论文构造了 $\mathbb{R}^d$ 上 Schouten 代数的普遍自同构族，其与维度 $ d $ 无关，且第一分量 $F_1^{\mathcal{L}\mathrm{ie}}$ 等于恒等映射。
• 自同构公式中的权重 $\mathrm{C}_\Gamma$ 由积分给出，具体为 $\int_{\widehat{C}_{n,0}} \bigwedge_{e \in \mathrm{Edges}(\Gamma)} \frac{{\mathfrak{p}}_e^*(\omega)}{2\pi}$，其中 $\omega$ 是 $\widehat{C}_{2,0}$ 上的闭极小 1-形式，其边界具有标准体积形式。
• 新紧化 $\widehat{C}_{n,0}$ 对所有 $ n \geq 3 $ 均不同于 Kontsevich 的 $\overline{C}_{n,0}$，且其面复形自然具有 ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-代数的 ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-同态的二色 dg 操作代数结构。
• 该构造产生了非同伦于恒等映射的奇异自同构，通过使用对称化的 Kontsevich 传播子和（反）传播子的显式例子得以证明。
• 通过将图族扩展至 $ 2n-3 $ 条边并使用不同的紧化，该框架可推广至 ${\mathcal{L}}eib_{\infty}$-自同构，从而恢复已知结果（如 Shoikhet 的构造）。
• 本文确立了：任何 $\overline{C} \sqcup \widehat{C}$ 上的 de Rham 场论均定义 Schouten 代数的奇异自同构，其权重 $c_\Gamma$ 由公式 (32) 给出。