[论文解读] Exotic group C*-algebras

Matthew Wiersma|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过结合理想完备化与 C*-代数的格结构，为非阿本内离散群（特别是 $SL_n(\mathbb{Z})$ 和自由群）引入了新的奇异群 C*-代数构造方法。证明了 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z}))$ 构成一类新的中间 C*-代数，其不被任何 $C^*_{\ell^q}$ 所支配，从而为 $SL_n(\mathbb{Z})$ 建立了不可数多个不同的奇异 C*-代数。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a discrete group. When $Γ$ is nonamenable, the reduced and full group $C$*-algebras differ and it is generally believed that there should be many intermediate $C$*-algebras, however few examples are known. In this paper we give new constructions and compare existing constructions of intermediate group $C$*-algebras for both generic and specific groups $Γ$.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：为非阿本内群系统构造位于约化与全群 C*-代数之间的显式中间 C*-代数。
• 比较并统一现有的奇异 C*-代数构造方法，包括理想完备化（$\ell^p$-表示）、Bekka 的算术群构造方法，以及基于 $\lambda_{G_d}$ 的方法。
• 在群 C*-代数集合上建立格结构，以系统性地生成新的奇异 C*-代数。
• 通过结合 $C^*_{\ell^p}$ 与 $C^*_{\mathcal{F}_0}$ 代数，证明 $SL_n(\mathbb{Z})$ 存在不可数多个不同的奇异 C*-代数。
• 为 $\mathbb{F}_\infty$ 提供一类新的奇异 C*-代数，其位于 $\ell^p$-链之外，扩展了已知的奇异群 C*-代数的景观。

提出的方法

• 利用平移不变理想 $D \subset \ell^\infty(\Gamma)$（特别是 $D = \ell^p(\Gamma)$）进行理想完备化，定义 C*-半范数，并将 $\mathbb{C}[\Gamma]$ 完备化为 $C^*_D(\Gamma)$。
• 在群 C*-代数集合上引入格结构，通过已有代数的并与交生成新的 C*-代数。
• 应用 Fell 拓扑与弱包含技术，分析表示的收敛性并检测平凡子表示。
• 利用子群之间的诱导与限制表示，特别是通过 $\mathbb{F}_2 \subset SL_2(\mathbb{Z})$ 的嵌入，将自由群的性质传递至 $SL_n(\mathbb{Z})$。
• 应用 Bekka 关于同余子群与平凡表示隔离的结果，证明某些诱导表示不弱包含平凡表示。
• 通过并 $C^*_{\mathcal{F}_0}(\Gamma) \vee C^*_{\ell^p}(\Gamma)$ 构造一类新的奇异 C*-代数，并证明其不被任何 $C^*_{\ell^q}$（$q > p$）所支配。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在已知的 $\ell^p$-完备化之外，为非阿本内群系统性地构造新的奇异群 C*-代数？
• RQ2 是否存在位于 $\ell^p$-链之外且不被任何 $C^*_{\ell^q}$ 所支配的 $SL_n(\mathbb{Z})$ 奇异 C*-代数？
• RQ3 对于每个 $p$，并 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z}))$ 是否产生一个新且不同的奇异 C*-代数？
• RQ4 能否证明与 $\ell^p$-完备化相关的表示在 $SL_n(\mathbb{Z})$ 中不弱包含平凡表示？
• RQ5 能否为 $\mathbb{F}_\infty$ 构造出不属于 $\ell^p$-家族的奇异 C*-代数？

主要发现

• 本文通过并 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z}))$ 为 $SL_n(\mathbb{Z})$ 构造了一类新的奇异群 C*-代数，且这些代数不被任何 $C^*_{\ell^q}$（$q > p$）所支配。
• 对每个 $p \in [1, \infty)$，存在 $q > p$ 使得 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z})) \not\succeq C^*_{\ell^q}(SL_n(\mathbb{Z}))$，证明该并代数不包含于任何 $C^*_{\ell^q}$ 代数中。
• 为 $SL_n(\mathbb{Z})$ 构造了一个不可数多个不同奇异 C*-代数的族，其超出 $\ell^p$-链及基于 $\lambda_{G_d}$ 的构造方法。
• 为 $\mathbb{F}_\infty$（可数个生成元的自由群）构造了新的奇异 C*-代数，其位于 $\ell^p$-家族之外，表明存在更广泛的奇异代数类别。
• 与 $\ell^p$-完备化相关的表示在 $SL_n(\mathbb{Z})$ 中不弱包含平凡表示，这一关键性质被用于将新构造的 C*-代数与 $C^*_{\ell^q}$ 代数区分开来。