[论文解读] Exotic smooth structures on $S^2 imes S^2$

Anar Akhmedov, B. Doug Park|arXiv (Cornell University)|May 19, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 6

一句话总结

该论文通过基于对一个亏格2曲面丛于亏格2曲面的Luttinger手术的逆向工程方法，构建了四维流形 $S^2 \times S^2$ 上无限多个相互微分同胚的不可约光滑结构族。关键结果是 $S^2 \times S^2$ 具有 $\infty$-性质，即它支持无限多个不同的光滑结构，包括辛和非辛结构，且通过非平凡的Seiberg-Witten不变量加以区分。

ABSTRACT

We construct an infinite family of mutually non-diffeomorphic irreducible smooth structures on the topological 4-manifold $S^2 imes S^2$.

研究动机与目标

• 证明 $S^2 \times S^2$ 支持无限多个相互微分同胚的光滑结构。
• 确立 $S^2 \times S^2$ 具有 $\infty$-性质，即它支持无限多个不可约非辛光滑结构和一个辛光滑结构。
• 证明这些奇异结构可通过非平凡且变化的Seiberg-Witten不变量加以区分。
• 证明对这些奇异 $S^2 \times S^2$ 光滑结构进行 blowing up 操作，可得到 $\mathbb{CP}^2 \#\,m\overline{\mathbb{CP}}^2$（$m \geq 2$）上无限多个相互微分同胚的奇异光滑结构。

提出的方法

• 将 [8] 中的“逆向工程”技术应用于一个非平凡的亏格2曲面丛于亏格2曲面。
• 构造一个复曲面 $X = (\Sigma_2 \times \Sigma_3)/\mathbb{Z}/2$，其欧拉示性数为4，$b_1 = 6$，$b_2 = 14$，且 $K^2 = 8$，该曲面为一般型的极小曲面。
• 在 $X$ 上执行六次Luttinger手术，生成一族四维流形 $M_n^1$，其中第六次手术的参数为 $n$。
• 利用Seiberg-Witten不变量区分所得的光滑结构，证明 $SW_{M_n^1}(\pm(2A+2B)) = n$。
• 利用Taubes定理证明中间流形 $Z$ 满足 $|SW_Z(\pm c_1(Z))| = 1$，并利用此结果计算 $M_n^1$ 的不变量。
• 应用Freedman分类定理，得出所有 $M_n^1$ 同胚于 $S^2 \times S^2$，而其不同的Seiberg-Witten不变量表明它们并非微分同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $S^2 \times S^2$ 上支持无限多个相互微分同胚的光滑结构？
• RQ2 是否存在无限多个不可约、非辛的光滑结构，且其Seiberg-Witten不变量各不相同？
• RQ3 Luttinger手术下，辛Kodaira维数是否保持不变？能否用于区分光滑结构？
• RQ4 能否通过blowup操作，利用 $S^2 \times S^2$ 上的奇异光滑结构，生成 $\mathbb{CP}^2 \#\,m\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上的奇异结构？
• RQ5 这些奇异 $S^2 \times S^2$ 光滑结构是否导致不支持爱因斯坦度量或非奇异归一化里奇流解的流形？

主要发现

• 该论文在 $S^2 \times S^2$ 上构造了无限多个相互微分同胚的光滑结构族，证明其具有 $\infty$-性质。
• 在 $M_n^1$ 上，Seiberg-Witten不变量仅在 $\pm(2A+2B)$ 处非零，其值为 $n$，因此当 $n \neq m$ 时，$M_n^1$ 与 $M_m^1$ 不微分同胚。
• $M_1^1$ 是辛流形且Kodaira维数为2，而当 $n \geq 2$ 时，$M_n^1$ 为非辛、不可约且具有非平凡Seiberg-Witten不变量。
• 所有 $M_n^1$ 均同胚于 $S^2 \times S^2$，根据Freedman定理，因为它们是单连通的自旋四维流形，且其相交形式为 $H$。
• 在 $M_n^1$ 上blow up $m-1$ 个点，可对每个 $m \geq 2$（包括 $m=4$）得到 $\mathbb{CP}^2 \#\,m\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上无限多个相互微分同胚的光滑结构。
• 当 $m=4$ 时，所得流形 $Y_n$ 不支持爱因斯坦度量，具有负的Yamabe不变量，且对任意初始度量均不支持非奇异归一化里奇流。