[论文解读] Expanders and box spaces

Ana Khukhro, Alain Valette|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文研究了框空间的粗等价性——即有限商群的粗不相交并，特别关注从 $SL_n(\mathbb{Z})$ 及其相关群导出的膨胀图。研究结果表明，当 $n \geq 2$ 时，通过不同的同余滤子，$SL_n(\mathbb{Z})$ 可以构造出不可数无穷多个两两不粗等价的膨胀图。此外，还证明了当 $n \geq 3$ 时，$SL_n(\mathbb{Z})$ 的框空间，以及对不同素数 $p$ 的 $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ 的框空间，彼此之间也不粗等价。本文进一步刻画了一种强非膨胀性质 $D_\alpha$，并证明其与群到 $\mathbb{Z}$ 的虚拟满射性等价，同时为灯工群和 $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ 群构造了显式例子。

ABSTRACT

We consider box spaces of finitely generated, residually finite groups $G$, and try to distinguish them up to coarse equivalence. We show that, for $n\geq 2$, the group $SL_n(\mathbb{Z})$ has a continuum of box spaces which are pairwise non-coarsely equivalent expanders. Moreover, varying the integer $n\geq 3$, expanders given as box spaces of $SL_n(\mathbb{Z})$ are pairwise inequivalent; similarly, varying the prime $p$, expanders given as box spaces of $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ are pairwise inequivalent. A strong form of non-expansion for a box space is the existence of $α\in]0,1]$ such that the diameter of each component $X_n$ satisfies $diam(X_n)=Ω(|X_n|^α)$. By a result of Breuillard and Tointon, the existence of such a box space implies that $G$ virtually maps onto $\mathbb{Z}$: we establish the converse. For the lamplighter group $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ and for a semi-direct product $\mathbb{Z}^2 times\mathbb{Z}$, such box spaces are explicitly constructed using specific congruence subgroups. We finally introduce the full box space of $G$, i.e. the coarse disjoint union of all finite quotients of $G$. We prove that the full box space of a group mapping onto the free group $\mathbb{F}_2$ is not coarsely equivalent to the full box space of an $S$-arithmetic group satisfying the Congruence Subgroup Property.

研究动机与目标

• 为了在粗等价意义下区分残余有限群的框空间，特别关注从 $SL_n(\mathbb{Z})$ 及其相关群导出的膨胀图。
• 刻画几何性质 $D_\alpha$，即一种强非膨胀性质，其中分量直径随群阶的正幂次增长，并将其与群结构联系起来。
• 证明若存在 $D_\alpha$-框空间，则该群几乎同态到 $\mathbb{Z}$，并在较弱条件下证明其逆命题成立。
• 通过同余子群，为非阿贝尔群（如灯工群和 $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$）显式构造 $D_\alpha$-框空间。
• 比较不同群的完整框空间（即所有有限商群的并），证明 $\Box \mathbb{F}_2$ 与任何具有同余子群性质的 $S$-整数环群的 $\Box G$ 不粗等价。

提出的方法

• 通过 $SL_m(\mathbb{Z})$ 中递减的正规子群滤子 $\Gamma(N_k(s))$ 构造框空间，其中 $N_k(s) = 2^{[ks]}$，并确保所得空间为膨胀图。
• 使用切比雪夫常数定义膨胀图，并应用 Margulis 和 Mendel-Naor 的结果，通过粗非嵌入性来区分膨胀图。
• 引入 $D_\alpha$-性质：存在 $K > 0$，使得 $\text{diam}(G/M) \geq K \cdot |G/M|^\alpha$，并证明其为粗不变量。
• 证明 $D_\alpha$-框空间存在的充要条件是群几乎同态到 $\mathbb{Z}$，并利用灯工群和 $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ 群中的同余子群进行显式构造。
• 应用 Eskin-Fisher-Whyte 的拟等距判别准则，证明非共轭的半直积群（如 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ 和 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$）具有等距（因此粗等价）的框空间。
• 使用完整框空间构造（即所有有限商群的并）来比较 $\mathbb{F}_2$ 与 $S$-整数环群，通过正规子群计数的增长率证明其不粗等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \geq 3$ 时，$SL_n(\mathbb{Z})$ 的框空间是否彼此粗等价？
• RQ2 对于不同素数 $p$，$SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ 的框空间是否粗等价？
• RQ3 $D_\alpha$-性质能否在不几乎同态到 $\mathbb{Z}$ 的群上实现？
• RQ4 是否存在 $\mathbb{Z}\wr\mathbb{Z}$ 的同余框空间具有 $D_\alpha$-性质？
• RQ5 不同秩的自由群的完整框空间是否粗等价？

主要发现

• 对于 $m \geq 2$，框空间 $\square_{(\Gamma(N_k(s)))}SL_m(\mathbb{Z})$ 是膨胀图，且两两不粗等价，从而产生不可数无穷多个此类膨胀图。
• 当 $n \geq 3$ 时，$SL_n(\mathbb{Z})$ 的框空间彼此不粗等价，同样地，对不同素数 $p$ 的 $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ 的框空间也不粗等价，原因在于其增长性质与谱性质的差异。
• $D_\alpha$-性质是粗不变量，且 $D_1$ 成立当且仅当群几乎同构于循环群。
• 对于灯工群 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$，通过特定同余子群显式构造了 $D_\alpha$-框空间。
• 若一个群映满 $\mathbb{F}_2$，则其完整框空间与任何具有同余子群性质的 $S$-整数环群的 $\Box G$ 不粗等价。
• 非共轭群（如 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ 和 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$）具有等距（因此粗等价）的框空间，表明粗等价性不蕴含共轭性。