[论文解读] Expanders have a spanning Lipschitz subgraph with large girth

Gábor Kun|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 23被引用 18

一句话总结

本文证明了具有足够强膨胀性质的有限图——特别是高谱间隙或短环密度低——可存在具有大圈长且保留膨胀性质的生成子图，使用了Lovász局部引理。关键结果表明，即使在为消除短环而删除边后，此类子图仍能保持由最大度和谱间隙决定的下界为正的Cheeger常数。

ABSTRACT

We show that every regular graph with good local expansion has a spanning Lipschitz subgraph with large girth and minimum degree. In particular, this gives a finite analogue of the dynamical solution to the von Neumann problem by Gaboriau and Lyons. We give a new proof and strengthen the Gaboriau-Lyons result, that allows us to answer two questions of Monod about geometric random subgroups. Our finite theorems are kind of converse to the theorem of Bourgain and Gamburd showing that large girth implies expansion for Cayley graphs of SL_2(F_p). We apply these to the regular case of Thomassen's conjecture stating that every finite graph with large average degree has a subgraph with large girth and average degree. Our main tool is an infinite version of the Lovasz Local Lemma developed in this paper.

研究动机与目标

• 通过证明强膨胀性允许在不损失膨胀性的情况下通过删边来增加圈长，从而调和膨胀性与圈长之间的张力。
• 证明具有高谱间隙或短环密度低的图可被稀疏化，以在保持良好膨胀性的同时实现大圈长。
• 通过Lovász局部引理提供一种构造性存在性证明，用于生成具有大圈长和有界Cheeger常数的生成子图。
• 解决关于膨胀序列是否可同时具备大圈长和强膨胀性的开放问题，尤其关注随机图和Ramanujan图。
• 探讨在构造此类子图时的算法可行性与局限性，特别是与小集合膨胀问题的关系。

提出的方法

• 将Lovász局部引理应用于一组精心构造的坏事件，对应于短环和子集中的差膨胀性。
• 将坏事件定义为存在短环或子集的边边界相对于其大小过小，使用每个顶点周围的局部约束。
• 使用概率方法证明，随机删边过程避免所有坏事件的概率为正，从而确保圈长大且膨胀性良好。
• 通过涉及原图边边界和度数的线性不等式，建立结果子图Cheeger常数的下界。
• 利用谱图论：将Cheeger常数与组合拉普拉斯矩阵的第二特征值关联，将谱条件转化为膨胀阈值。
• 通过谱间隙和最大度数推导出子图Cheeger常数的定量界限，表明在特定条件下其仍保持为Ω(log Δ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有高膨胀性和有界度数的有限图，是否可被稀疏化以实现大圈长，同时保持非平凡的Cheeger常数？
• RQ2 何种谱条件或局部环密度条件可保证存在具有大圈长和强膨胀性的生成子图？
• RQ3 Lovász局部引理是否足以构造此类子图？在使构造过程算法化方面存在哪些局限性？
• RQ4 结果子图的Cheeger常数能否以原图的谱间隙和最大度数为参数，从下界进行界定？
• RQ5 该方法在多维膨胀图或具有可测结构的无限图上在多大程度上可被推广？

主要发现

• 对于任意最大度数Δ且谱间隙λ₂(G) ≥ Δ − Δ/(192(log Δ + 2))的有限图，存在一个生成子图H，其圈长大于等于g，且Cheeger常数h(H) ≥ 0.99(log Δ + 2)。
• 若对所有k ≤ g，每个顶点的k-环数量被限制为(Δ/(8δ))ᵏ，则存在一个生成子图H，其圈长大于等于g，且h(H) ≥ (δ/(2Δ))h(G) − (2 log Δ + 4)，在温和条件下成立。
• 结果子图H的Cheeger常数有下界，该下界由原图的谱间隙和最大度数决定，确保了非平凡的膨胀性。
• h(H)的界限具有强定量性：对于Ramanujan图和随机d-正则图，子图保留下界为Ω(√d)的膨胀性，与原始图的膨胀质量一致。
• 该结果对大的d是非平凡的：当λ₂(G) ≥ Δ − Δ/(192(log Δ + 2))时，H的Cheeger常数至少为0.99(log Δ + 2)，其随Δ对数增长。
• 该方法依赖于Lovász局部引理，即使坏事件（短环和差膨胀集合）的数量呈指数级增长也适用，尽管高效检测坏事件仍是挑战。