[论文解读] Expanders via random spanning trees

Navin Goyal, Luis Rademacher+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用 45

一句话总结

本文提出splicers——两个随机生成的生成树的并集——作为一种简单、高效的方法，用于在有界度数图和随机图中构建扩展图。证明表明，此类splicers可将所有割的近似误差控制在对数因子内，从而实现可扩展、可靠的路由以及边数为O(n)的图稀疏化。

ABSTRACT

Motivated by the problem of routing reliably and scalably in a graph, we introduce the notion of a splicer, the union of spanning trees of a graph. We prove that for any bounded-degree n-vertex graph, the union of two random spanning trees approximates the expansion of every cut of the graph to within a factor of O(log n). For the random graph Gn, p, for p = Ω(log n/n), we give a randomized algorithm for constructing two spanning trees whose union is an expander. This is suggested by the case of the complete graph, where we prove that two random spanning trees give an expander. The construction of the splicer is elementary; each spanning tree can be produced independently using an algorithm by Aldous and Broder: A random walk in the graph with edges leading to previously unvisited vertices included in the tree. Splicers also turn out to have applications to graph cut-sparsification where the goal is to approximate every cut using only a small subgraph of the original graph. For random graphs, splicers provide simple algorithms for sparsifiers of size O(n) that approximate every cut to within a factor of O(log n).

研究动机与目标

• 为解决在大规模图中实现可靠、可扩展路由的挑战，通过构建稀疏、高度扩展的子图来实现。
• 开发一种仅使用两个随机生成的生成树的简单、随机化构造方法，用于构建扩展图。
• 为各种图族中两个随机生成的生成树的并集在割近似方面的理论保证提供支持。
• 实现高效的图割稀疏化，使用子线性规模的子图，且所有割值的近似误差在对数因子内。

提出的方法

• 通过Aldous-Broder算法构建每个生成树：一种仅向未访问顶点添加边的随机游走。
• 将同一图中独立生成的两个随机生成树的并集定义为splicer。
• 证明原始图中每个割的扩展性在splicer中被近似为O(log n)因子内。
• 将该方法应用于随机图G(n, p)，其中p = Ω(log n / n)，表明两个随机生成的生成树以高概率构成扩展图。
• 利用splicer的结构，构建边数为O(n)的子图，作为具有O(log n)近似因子的割稀疏化器。
• 利用splicer的扩展性特性，确保在路由和图压缩中具备鲁棒性和可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界度数图中，两个随机生成的生成树的并集能否在多项式对数因子内近似所有割的扩展性？
• RQ2 在Erdős–Rényi随机图G(n, p)中，当p = Ω(log n / n)时，两个随机生成的生成树的并集是否以高概率形成扩展图？
• RQ3 如何利用splicers构建小规模、稀疏的子图，使其在对数因子内保持所有割的值？
• RQ4 在一般图中，使用两个随机生成的生成树作为splicer时，割近似的理论保证是什么？

主要发现

• 对于任意有界度数的n顶点图，两个随机生成的生成树的并集可将每个割的扩展性近似在O(log n)因子内。
• 在完全图中，两个独立的随机生成树几乎必然构成一个扩展子图。
• 对于随机图G(n, p)，其中p = Ω(log n / n)，存在一种随机化算法，可构造出两个生成树，其并集为扩展图。
• Splicers可生成边数为O(n)的子图，作为具有O(log n)近似因子的割稀疏化器，适用于所有割。
• 该构造方法简单高效，仅依赖于随机游走和Aldous-Broder算法来生成生成树。
• 该方法提供了一种可扩展、适合分布式部署的图稀疏化与大规模网络中可靠路由的方法。