[论文解读] Expanding cone and applications to homogeneous dynamics

Ronggang Shi|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文引入了半单李群 $H$ 的一个平移子群 $U$ 关联的极大分裂环面 $A$ 中的扩张锥 $A_U^+$，通过李代数根给出了其显式代数刻画。研究建立了 $A_U^+$ 作用下 $U$-截面平移的定量非质量逃逸与等分布性，证明了在谱间隙假设下具有误差率的有效多重等分布性，并利用新颖的相关性估计推导出具有误差界的有效多重点态遍历定理，将先前仅限于 $k=2$ 的 $k$-步结果推广至任意 $k$。该框架推广了齐性动力系统与数论中的经典设定。

ABSTRACT

Let $U$ be a horospherical subgroup of a noncompact simple Lie group $H$ and let $A$ be a maximal split torus in the normalizer of $U$. We define the expanding cone $A_U^+$ in $A$ with respect to $U$ and show that it can be explicitly calculated. We prove several dynamical results for translations of $U$-slices by elements of $A_U^+$ on finite volume homogeneous space $G/Γ$ where $G$ is a Lie group containing $H$. More precisely, we prove quantitative nonescape of mass and equidistribution of a $U$-slice. If $H$ is a normal subgroup of $G$ and the $H$ action on $G/Γ$ has a spectral gap, we prove effective multiple equidistribution and pointwise equidistribution with an error rate. In the paper we formulate the notion of the expanding cone and prove the dynamical results above in the more general setting where $H$ is a semisimple Lie group without compact factors. In the appendix, joint with Rene Ruhr, we prove a multiple ergodic theorem with an error rate.

研究动机与目标

• 在半单李群与齐性子群的背景下，定义并显式刻画扩张锥 $A_U^+$。
• 在有限体积齐性空间 $G/\Gamma$ 上，建立 $A_U^+$ 作用下 $U$-截面平移的定量非质量逃逸与等分布性。
• 在 $H$ 在 $G/\Gamma$ 上的作用具有谱间隙的假设下，证明光滑 $U$-截面的多重等分布性，并给出显式误差率。
• 从有效多重相关性出发，推导出具有误差率的多重点态遍历定理，将先前结果从 $k=2$ 情况推广至更一般情形。
• 将经典设定（如 $\mathrm{SL}_{m+n}(\mathbb{R})$）中的动力学结果推广至无紧因子的一般半单群。

提出的方法

• 将扩张锥 $A_U^+$ 定义为满足 $U$ 是 $a$-扩张的元素 $a \in A$ 的集合，即对每个非平凡不可约表示 $\rho$，$U$-不动点位于 $\rho(a)$ 的正特征子空间中。
• 显式表达 $A_U^+$ 为 $\exp(\mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u}})$，其中 $\mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u}} = \sum_{\alpha \in \Phi(\mathfrak{u})} t_\alpha s_\alpha$ 且 $t_\alpha > 0$，利用卡林形式将根与 $\mathfrak{a}$ 中的元素对应。
• 采用 Kleinbock-Margulis 方法，证明光滑测度在 $U$-截面上的平移的多重相关性，将结果从 $k=1,2$ 推广至任意 $k \geq 1$。
• 应用有效双重等分布结果，通过相关积分的衰减估计，将多重遍历平均简化为单重遍历平均。
• 在谱间隙假设下，利用关键的 $L^2$-型衰减估计（定理 A.2），通过加权平均论证证明多重点态遍历定理。
• 利用相关性的 $L^2$-衰减（引理 A.3）控制多重遍历平均的方差，确保误差率 $o(T^{-1/2} \log^{3/2 + \varepsilon} T)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于 $H$ 与 $U$ 的李代数数据显式刻画扩张锥 $A_U^+$？
• RQ2 在 $A_U^+$ 作用下，$U$-截面平移的哪些动力学性质（如等分布性与非质量逃逸）成立？
• RQ3 在谱间隙存在时，能否建立 $k$-步相关性的有效多重等分布结果，并给出显式误差率？
• RQ4 在齐性动力系统的背景下，如何从有效多重相关性推导出有效多重遍历定理？
• RQ5 谱间隙在实现更强的等分布性与遍历性结果方面起到何种作用？

主要发现

• 扩张锥 $A_U^+$ 显式表示为 $\exp(\mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u}})$，其中 $\mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u}}$ 是 $\Phi(\mathfrak{u})$ 中根对应的 $s_\alpha$ 的正线性张量。
• $A_U^+$ 元素作用下 $U$-截面的平移在有限体积齐性空间 $G/\Gamma$ 上表现出定量非质量逃逸。
• 在 $H$ 在 $G/\Gamma$ 上的作用具有谱间隙时，$U$-截面平移的等分布性成立，且具有有效误差率。
• 在谱间隙假设下，$k$-步相关性的有效多重等分布性被建立，误差率为 $o(T^{-1/2} \log^{3/2 + \varepsilon} T)$，推广了 $k=2$ 的情形。
• 通过有效多重相关性与单重遍历平均的约化，证明了具有相同误差率的多重点态遍历定理。
• 附录在假设 $s_i \in \mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u},b}$ 的条件下，为 $\mu_U$-几乎处处的 $h \in U$ 建立了误差率为 $o(T^{-1/2} \log^{3/2 + \varepsilon} T)$ 的多重点态遍历定理。