[论文解读] Expanding Measures

Vilton Pinheiro|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 46被引用 7

一句话总结

该论文将Keller在一维情形下关于绝对连续不变测度的定理推广至具有临界或奇异区域的任意维C^{1+}映射。通过构造一个具有一致有界返回时间（由首次双曲时间界定）的诱导马尔可夫映射F，证明了原映射的每个扩张测度均可提升至F上的不变测度，从而使得衰减相关性等统计性质的研究成为可能。

ABSTRACT

We prove that any C^{1+} transformation, possibly with a (non-flat) critical or singular region, admits an invariant probability measure absolutely continuous with respect to any expanding measure whose Jacobian satisfies a mild distortion condition. This is an extension to arbitrary dimension of a famous theorem of Keller for maps of the interval with negative Schwarzian derivative. We also show how to construct an induced Markov map F such that every expanding probability of the initial transformation lifts to an invariant probability of F. The induced time is bounded at each point by the corresponding first hyperbolic time (the first time the dynamics exhibits hyperbolic behavior). In particular, F may be used to study decay of correlations and others statistical properties of the initial map, relative to any expanding probability.

研究动机与目标

• 将Keller关于区间映射上绝对连续不变测度的定理，从一维情形推广至具有临界或奇异区域的高维C^{1+}映射。
• 在雅可比行列式满足温和畸变条件的假设下，建立任意扩张测度下不变概率测度存在的结论，且该测度关于扩张测度绝对连续。
• 构造一个诱导马尔可夫映射F，使得原系统中每个扩张测度均可提升为F上的不变测度。
• 确保诱导返回时间由首次双曲时间有界，从而可通过F对原系统的统计性质进行分析。

提出的方法

• 利用首次双曲时间函数定义诱导马尔可夫映射的返回时间。
• 构造一个诱导映射F，将原系统的不变测度提升至马尔可夫结构。
• 对雅可比行列式施加温和畸变条件，以保证测度理论提升的正则性。
• 利用诱导映射F，将F上的统计性质（如相关性衰减）回传至原系统。
• 利用诱导返回时间的有界性（由首次双曲时间界定）来控制诱导动力系统的复杂性。
• 通过畸变控制，建立提升测度关于原扩张测度的绝对连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将一维负施瓦茨导数映射中绝对连续不变测度存在的结论，推广至具有非平坦临界或奇异区域的高维C^{1+}映射？
• RQ2 如何构造一个诱导马尔可夫映射，使其不变测度与原系统的扩张测度相对应？
• RQ3 首次双曲时间与诱导马尔可夫映射中返回时间之间存在何种关系？
• RQ4 在何种程度上可通过诱导映射F研究统计性质（如相关性衰减）？
• RQ5 在雅可比行列式满足何种条件下，扩张测度向F的提升能保持绝对连续性？

主要发现

• 只要雅可比行列式满足温和畸变条件，任意具有非平坦临界或奇异区域的C^{1+}变换，均存在关于任意扩张测度绝对连续的不变概率测度。
• 可构造一个诱导马尔可夫映射F，使得原映射的每个扩张测度均可提升为F上的不变概率测度。
• 诱导映射F中的返回时间在每一点上均被对应原系统的首次双曲时间所有界。
• F的构造使得统计性质（如相关性衰减）可从F传递至原系统。
• 诱导映射F保持了原系统的测度论结构，从而能够对其实现统计行为的严格分析。