[论文解读] Expanding Thurston maps as quotients

Daniel Meyer|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 8

一句话总结

该论文表明，通过先前工作中提出的不变Peano曲线构造，每个扩张型Thurston映射的足够高阶迭代都与两个多项式的有理函数拼接（mating）拓扑共轭。关键贡献在于通过临界构型（critical portraits）给出了组合表征，表明此类映射可作为拼接产生，并由此实现对欧氏平面与双曲平面的分形镶嵌构造。

ABSTRACT

A Thurston map is a branched covering map $f\colon S^2 o S^2$ that is postcritically finite. Mating of polynomials, introduced by Douady and Hubbard, is a method to geometrically combine the Julia sets of two polynomials (and their dynamics) to form a rational map. We show that for every expanding Thurston map $f$ every sufficiently high iterate $F=f^n$ is obtained as the mating of two polynomials. One obtains a concise description of $F$ via critical portraits. The proof is based on the construction of the invariant Peano curve from Meyer. As another consequence we obtain a large number of fractal tilings of the plane and the hyperbolic plane.

研究动机与目标

• 建立每个扩张型Thurston映射的足够高阶迭代均源于两个多项式拼接的结论。
• 利用来自不变Peano曲线的临界构型，提供此类映射的组合表征。
• 展示不变Peano曲线如何诱导欧氏平面与双曲平面的分形镶嵌。
• 探讨扩张型Thurston映射可实现为拼接的条件，特别是与Thurston障碍的关系。
• 研究是否存在从圆周到Sierpiński地毯有理函数映射的Julia集的半共轭映射，以推广Peano曲线构造。

提出的方法

• 利用瓷砖与边的组合结构，从扩张型Thurston映射f构造不变Peano曲线γ。
• 通过映射的动力学与Peano曲线逼近，定义圆周上的白色与黑色等价关系∼n,𝑤与∼n,𝑏。
• 利用等价关系的归纳构造，定义编码拼接结构的层与间隙。
• 当映射具有双曲轨道时，将其动力学提升至轨道覆叠，从而在双曲平面上生成镶嵌。
• 在临界构型球面𝕊̃²中表示多曲线与Thurston障碍，以分析有理化条件。
• 应用Poirier定理，证明白色与黑色关系下的等价类对应于拼接多项式的Julia集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，扩张型Thurston映射f与两个多项式的拼接拓扑共轭？
• RQ2 扩张型Thurston映射的临界构型能否决定其是否源于拼接？
• RQ3 是否存在从圆周到Sierpiński地毯有理函数映射的Julia集的半共轭映射，且尊重动力学结构？
• RQ4 不变Peano曲线能否用于构造具有双曲轨道的映射在双曲平面上的分形镶嵌？
• RQ5 临界构型上的何种组合条件可表明不存在Thurston障碍？

主要发现

• 每个扩张型Thurston映射f的足够高阶迭代F = fⁿ均与两个多项式的拼接拓扑共轭。
• 拼接结构完全由临界构型决定，后者编码了两个多项式动力学的信息。
• 不变Peano曲线γ诱导球面上的镶嵌，其中每个瓷砖对应于临界构型间隙的原像。
• 对于具有双曲轨道的映射，Peano曲线可提升至双曲平面，生成自相似的分形镶嵌。
• 白色与黑色关系∼𝑤与∼𝑏的等价类为有限集，分别对应于拼接多项式的Fatou集与Julia集。
• 该构造为拼接的实现提供了必要且充分条件，推广了关于具有赤道的有理函数映射的已知结果。