[论文解读] Expansion of Dirichlet L-function on the critical line in Meixner-Pollaczek polynomials

Hiroto Inoue|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了梅克纳-波拉茨克维奇多项式展开在临界线上的完备黎曼ζ函数与狄利克雷L-函数的统一收敛性，证明了部分和在紧集上一致逼近该函数，且逼近多项式的零点收敛于ζ函数的非平凡零点。关键贡献在于一个严格的谱界，表明逼近多项式的最大零点随次数线性增长，为通过正交多项式展开研究黎曼猜想提供了新途径。

ABSTRACT

We study the expansions of the completed Riemann zeta function and completed Dirichlet L-functions in Meixner-Pollaczek polynomials. We give the proof of the uniform convergence, the multiplicative structure for the coefficients of these expansions, and a calculation for the coefficients of a completed Dirichlet L-function $\hat{L}(s, χ_{-1})$. Furthermore, we give a boundary for the zeros of the approximating polynomial.

研究动机与目标

• 使用梅克纳-波拉茨克维奇多项式建立完备黎曼ζ函数与狄利克雷L-函数的新正交展开框架。
• 证明在临界带内MP展开的统一收敛性，同时保持函数方程的对称性。
• 推导逼近多项式零点位置的显式界，特别是最大零点的界。
• 研究逼近多项式中复零点的分布，作为黎曼猜想的潜在指示。
• 为使用多项式逼近研究L-函数的零点分布，提供数值与分析基础。

提出的方法

• 在加权 $ L^2 $-空间中使用梅克纳-波拉茨克维奇多项式 $ q_n^{( u,0)}(it) $ 作为正交基，测度为 $ |̳(it + ν/2)|^2 dt $。
• 应用达布乌方法推导多项式的渐近展开，以估计系数与增长行为。
• 对展开系数的三对角加最后一行矩阵表示应用盖尔绍林圆盘定理，以界定特征值（即逼近多项式的零点）。
• 推导矩阵表示的递推关系与迹恒等式，以计算零点的幂和并推断其增长速率。
• 利用由MP系数构造的矩阵 $ \mathbf{B}_n $ 的谱性质，分析部分和 $ S_n(t) $ 的零点位置。
• 应用伪谱方法估计复零点在数值误差范围内的可能位置，该结果经由 $ n = 260 $ 的数值计算验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 梅克纳-波拉茨克维奇多项式展开的完备黎曼ζ函数 $ \Xi(t) $ 是否在临界带的每个紧子集上一致收敛？
• RQ2 逼近多项式 $ S_n(t) $ 的零点是否收敛于 $ \Xi(t) $ 的非平凡零点，若收敛，其收敛速度如何？
• RQ3 当 $ n \to \infty $ 时，逼近多项式 $ S_n(t) $ 的最大零点 $ \rho_n^{\max} $ 的渐近增长速率为何？
• RQ4 逼近多项式中是否会出现复零点，尽管存在数值不确定性，其位置是否可被可靠估计？
• RQ5 系数矩阵 $ \mathbf{B}_n $ 的谱结构是否能为 $ S_n(t) $ 的零点位置提供界？

主要发现

• 完备黎曼ζ函数 $ \Xi(t) $ 的MP展开在临界带的每个紧子集上一致收敛于 $ \Xi(t) $。
• 部分和 $ S_n(t) $ 保持了函数方程的对称性，满足 $ S_n(-t) = S_n(t) $，这是由于梅克纳-波拉茨克维奇多项式的偶性。
• 对于完备狄利克雷L-函数 $ \widehat{L}(s,\chi_{-1}) $，利用文献 [A] 和 [K1] 的结果，显式计算了MP系数，从而支持数值分析。
• 逼近多项式 $ S_n(t) $ 的最大零点 $ \rho_n^{\max} $ 满足 $ C' n \leq |\rho_n^{\max}| \leq C n $，其中 $ C, C' $ 为正常数，表明其随 $ n $ 线性增长。
• 当 $ n = 260 $ 时的数值结果表明，几乎所有零点位于实轴上，但靠近原点处出现一组四个复零点，与伪谱方法的估计误差界一致。
• 零点的平方和 $ \sum_{k=1}^n \rho_{n,k}^2 $ 渐近增长为 $ \sim \frac{2}{3} n^3 $，证实并非所有零点都靠近虚轴。