[论文解读] Expansion of fractional derivatives in terms of an integer derivative series: physical and numerical applications

Anastasia Gladkina, Gavriil Shchedrin+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文推导了格伦沃尔德-莱特尼科夫分数阶导数的无穷级数展开式，以整数阶导数表示，证明其与黎曼-刘维尔和卡波托定义等价。该方法可实现线性分数阶微分方程的鲁棒数值求解，截断级数表现出快速收敛至包含梅特格勒-莱夫勒函数和福克斯-赖特函数的精确解。

ABSTRACT

We use the displacement operator to derive an infinite series of integer order derivatives for the Grünwald-Letnikov fractional derivative and show its correspondence to the Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives. We demonstrate that all three definitions of a fractional derivative lead to the same infinite series of integer order derivatives. We find that functions normally represented by Taylor series with a finite radius of convergence have a corresponding integer derivative expansion with an infinite radius of convergence. Specifically, we demonstrate robust convergence of the integer derivative series for the hyperbolic secant (tangent) function, characterized by a finite radius of convergence of the Taylor series $R=π/2$, which describes bright (dark) soliton propagation in non-linear media. We also show that for a plane wave, which has a Taylor series with an infinite radius of convergence, as the number of terms in the integer derivative expansion increases, the truncation error decreases. Finally, we illustrate the utility of the truncated integer derivative series by solving two linear fractional differential equations, where the fractional derivative is replaced by an integer derivative series up to the second order derivative. We find that our numerical results closely approximate the exact solutions given by the Mittag-Leffler and Fox-Wright functions. Thus, we demonstrate that the truncated expansion is a powerful method for solving linear fractional differential equations, such as the fractional Schrödinger equation.

研究动机与目标

• 通过整数阶导数的共同无穷级数表示，统一格伦沃尔德-莱特尼科夫、黎曼-刘维尔和卡波托分数阶导数。
• 研究整数阶导数级数展开的收敛性，特别是针对泰勒级数收敛半径有限的函数。
• 开发并验证一种基于截断整数阶导数级数的数值方法，用于求解线性分数阶微分方程。
• 评估截断级数在近似分数阶导数及求解分数阶微分方程时的精度与效率。

提出的方法

• 利用位移算子推导格伦沃尔德-莱特尼科夫分数阶导数的整数阶导数无穷级数。
• 证明所得级数与黎曼-刘维尔和卡波托分数阶导数等价，仅因初值处理方式不同而在求和下限上有所差异。
• 对无穷级数进行截断，以数值方式近似分数阶导数，并在 tanh(x)、sech(x) 和 sin(x) 等函数上测试收敛性。
• 对具有常系数和变系数的截断分数阶微分方程应用四阶龙格-库塔法求解。
• 以梅特格勒-莱夫勒函数和福克斯-赖 Wright 函数为基准，将精确解与数值结果进行比较。
• 通过测量截断误差随级数中保留项数的变化关系，评估收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 格伦沃尔德-莱特尼科夫分数阶导数能否被精确表示为整数阶导数的无穷级数？
• RQ2 对于 sech(x) 和 tanh(x) 等函数，整数阶导数级数的收敛行为与泰勒级数相比如何？
• RQ3 截断的整数阶导数级数是否能提供一种准确且高效的数值方法来求解线性分数阶微分方程？
• RQ4 对于泰勒级数收敛半径无限的函数，截断级数中项数与最终截断误差之间存在何种关系？
• RQ5 该无穷整数阶导数展开在应用上是否存在局限性，特别是对于高斯函数？

主要发现

• 格伦沃尔德-莱特尼科夫、黎曼-刘维尔和卡波托分数阶导数均对应于相同的整数阶导数无穷级数，仅因初值处理方式不同而在求和下限上有所差异。
• 对于 sech(x) 和 tanh(x) 等函数，其泰勒级数收敛半径有限（R = π/2），但其整数阶导数级数展开却表现出无限收敛半径。
• 对于 sin(x)，两项截断的平均误差为 1%，而十项截断可将误差降至 0.01%。
• 截断的整数阶导数级数成功求解了具有常系数和变系数的线性分数阶微分方程，数值解与以梅特格勒-莱夫勒函数和福克斯-赖 Wright 函数表示的精确解高度吻合。
• 对于变系数微分方程，N=3 截断导致 10% 的误差，而同一截断在常系数方程中仅产生 1% 的误差。
• 由于埃尔米特多项式存在阶乘增长和振荡行为，该方法对高斯函数失效，表明该展开在普适性上存在局限。