[论文解读] Expansion of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth, Sixth, Seventh and Eighth Multiplicities Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过在 L²([t,T]^k) 中使用广义多重傅里叶级数，对乘次为 5 至 8 的迭代伊藤-斯特拉托诺维奇随机积分进行展开，利用勒让德多项式与三角级数。该方法仅通过一次极限过程即可实现均方收敛，显著简化了现有基于伊藤方法的展开方式，并实现了伊藤随机微分方程的高效数值积分。

ABSTRACT

The article is devoted to the construction of expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of fifth, sixth, seventh and eighth multiplicities based on the method of generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in the Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ Specifically, we mainly use multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series $(k=1,\ldots,8)$. The case of generalized multiple Fourier series in arbitrary complete orthonormal systems of functions in $L_2([t, T])$ is also considered for $k=1,\ldots,6$. Recently, expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicity $k,$ $k\in\mathbb{N}$ (the case of continuous weight functions and an arbitrary complete orthonormal system of functions in $L_2([t, T])$) have been obtained (Theorems 42, 44) but under one additional condition. The considered expansions converge in the mean-square sense and contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. Expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals turned out much simpler than appropriate expansions of iterated Ito stochastic integrals. We use expansions of the latter as a tool of the proof of expansions for iterated Stratonovich stochastic integrals. Iterated Stratonovich stochastic integrals are part of the Taylor-Stratonovich expansion for solutions of Ito stochastic differential equations. That is why the results of the article can be applied to the numerical integrations of Ito stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 开发用于迭代斯特拉托诺维奇随机积分（乘次为 5 至 8）的高效、均方收敛展开方法。
• 将现有针对较低乘次（k=2 至 4）的展开方法推广至更高阶次，使用广义多重傅里叶级数。
• 在最小假设条件下建立收敛性，包括任意完备正交系和 L² 权函数。
• 通过减少极限过程的次数，简化近似过程，相较于先前方法更为简便。
• 通过泰勒-斯特拉托诺维奇展开实现伊藤随机微分方程的实际数值积分。

提出的方法

• 在 L²([t,T]^k) 中使用正交基（如勒让德多项式与三角函数）的广义多重傅里叶级数。
• 将广义多重傅里叶级数方法应用于通过投影到正交系来展开迭代斯特拉托诺维奇积分。
• 采用基于迭代伊藤积分展开的递归证明策略作为基础工具。
• 应用帕塞瓦尔恒等式与 L²-范数估计来界定近似误差并证明收敛性。
• 提出一种新方法，通过分析余项并证明其 L²-范数在 p→∞ 时趋于零，以处理高阶积分。
• 利用迹级数收敛性与渐近估计（如 O(1/p^{1−ε})）验证极限过程与误差衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用广义多重傅里叶级数对乘次为 5 至 8 的迭代斯特拉托诺维奇随机积分实现均方收敛展开？
• RQ2 在最小假设条件下（如任意完备正交系与 L² 权函数）如何证明收敛性？
• RQ3 这些展开的均方收敛速率是多少？与现有基于伊藤的方法相比有何差异？
• RQ4 是否可将极限过程的次数减少至一次，而非先前方法中的多次？
• RQ5 在截断参数 p→∞ 时，展开中的余项误差在 L²-范数下于何种条件下趋于零？

主要发现

• 对乘次为 5 至 8 的迭代斯特拉托诺维奇积分展开，在 L²-范数下仅通过一次极限过程即可收敛，显著简化了近似过程。
• 对于乘次 5 至 8，展开的均方误差被有界为 O(1/p^{1−ε})（对任意 ε>0），且常数与 p 无关。
• 该方法在最小假设下实现收敛：L²([t,T]) 中任意完备正交系与 L²([t,T]) 中的权函数。
• 展开中的余项（如 ˆRp）满足 ||ˆRp||_{L²([t,T]^{k−2r})} → 0（当 p→∞ 时），证明了极限过程的有效性。
• 该方法可推广至任意乘次 k∈N，且在条件 (756) 或 (725) 下建立收敛性，扩展了先前结果。
• 该方法在计算上具有优势，因为它避免了早期展开中复杂的多重极限运算。