[论文解读] Expansions for Quantiles and Multivariate Moments of Extremes for Distributions of Pareto Type

Saralees Nadarajah, Christopher S. Withers|ArXiv.org|Mar 25, 2009

Probability and Risk Models参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文针对帕累托型分布的极值顺序统计量的分位数和多变量矩，利用反演定理推导了关于 $ n $ 和 $ n^{-\beta/\alpha} $ 的负幂级数展开的渐近展开式。主要贡献在于提出了一套通用框架，适用于柯西分布、学生 t 分布、F 分布和稳定分布等，能够对极值的矩进行精确逼近，并提供显式的误差界。

ABSTRACT

Let $X_{nr}$ be the $r$th largest of a random sample of size $n$ from a distribution $F (x) = 1 - \sum_{i = 0}^\infty c_i x^{-α- i β}$ for $α> 0$ and $β> 0$. An inversion theorem is proved and used to derive an expansion for the quantile $F^{-1} (u)$ and powers of it. From this an expansion in powers of $(n^{-1}, n^{-β/α})$ is given for the multivariate moments of the extremes $\{X_{n, n - s_i}, 1 \leq i \leq k \}/n^{1/α}$ for fixed ${\bf s} = (s_1, ..., s_k)$, where $k \geq 1$. Examples include the Cauchy, Student $t$, $F$, second extreme distributions and stable laws of index $α< 1$.

研究动机与目标

• 推导具有幂律尾部的分布的极值顺序统计量的分位数和多变量矩的渐近展开式。
• 将现有的极值矩渐近结果从仅首阶近似扩展至包含 $ n^{-1} $ 和 $ n^{-\beta/\alpha} $ 的高阶项。
• 为包括柯西分布、学生 t 分布、F 分布和指数 $ \alpha < 1 $ 的稳定分布在内的广泛重尾分布类，提供一种通用方法。
• 建立一个严格的反演定理，将分布函数的尾部行为与分位数函数展开式联系起来。

提出的方法

• 基于尾部分布展开式 $ 1 - F(x) = x^{-\alpha} \sum_{i=0}^{\infty} c_i x^{-i\beta} $，推导出一个反演定理，将分位数函数 $ F^{-1}(u) $ 表示为 $ (1-u)^{\alpha_i} $ 的幂级数，其中 $ \alpha_i = (i\beta - 1)/\alpha $。
• 利用贝尔多项式和生成函数，计算归一化极值 $ Y_{n,s} = X_{n,n-s}/n^{1/\alpha} $ 的高阶矩。
• 将极值的矩按 $ n^{-1} $ 和 $ n^{-\beta/\alpha} $ 的幂次展开，系数由尾部分布展开中的参数 $ c_i $ 导出。
• 通过递归计算系数，对 $ EY_{n,s} $、$ EY_{n,s_1}Y_{n,s_2} $ 和 $ \text{Covar}(Y_{n,s_1}, Y_{n,s_2}) $ 进行显式展开，精度达 $ O(n^{-3}) $，以验证该方法。
• 通过识别特定分布的 $ \alpha $、$ \beta $ 和 $ c_i $，将该框架应用于具体分布，实现矩展开的直接计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有幂律尾部的分布的极值顺序统计量的矩推导高阶渐近展开式？
• RQ2 当分布的尾部满足 $ 1 - F(x) \sim x^{-\alpha} \sum_{i=0}^{\infty} c_i x^{-i\beta} $ 时，分位数函数展开的结构是什么？
• RQ3 归一化极值 $ X_{n,n-s}/n^{1/\alpha} $ 的矩在 $ n^{-1} $ 和 $ n^{-\beta/\alpha} $ 的渐近行为如何？
• RQ4 该方法能否系统地应用于标准重尾分布，如学生 t 分布、F 分布和稳定分布？

主要发现

• 对于柯西分布，$ EY_{n,s} $ 的一阶展开为 $ s^{-1} - n^{-2}\pi^2(s+1) + O(n^{-3}) $，其中 $ Y_{n,s} = (\pi/n)X_{n,n-s} $。
• 柯西分布的联合二阶矩 $ EY_{n,s_1}Y_{n,s_2} $ 为 $ (1 - n^{-1})(s_1 - 1)^{-1}s_2^{-1} - n^{-2}\pi^2 D_{2,{\bf s}}/3 + O(n^{-3}) $，其中 $ D_{2,{\bf s}} = (s_2 + 1)/(s_1 + 1) + s_1/s_2 $。
• 对于自由度为 $ N $ 的学生 t 分布，展开式包含 $ n^{-2/N} $ 的幂次，首阶校正项出现在 $ n^{-2/N} $ 阶。
• 对于自由度 $ N > 2 $ 的 F 分布，展开式在 $ O(n^{-2a_0}) $ 范围内有效，其中 $ a_0 = \min(2/(N-2), 1) $，且 $ Y_{n,s} = X_{n,n-s}/(n c_0)^{1/\alpha} $。
• 对于指数 $ \alpha < 1 $ 的稳定分布，展开式可得到至 $ O(n^{-2}) $ 的矩，其中 $ a = 1 $，首阶校正项出现在 $ n^{-1} $ 阶。