[论文解读] Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series: Multiplicities 1 to 8 and Beyond

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Dec 27, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本论文提出了一种新颖的方法，利用 L²([t,T]^k) 中的广义多重傅里叶级数，对乘次为 1 至 8 的迭代伊tô-斯特拉托诺维奇随机积分进行展开，该方法同时采用勒让德和三角函数系。该方法仅通过一次极限过程即可实现均方收敛，显著提升了求解非交换噪声的多维伊tô SDE 的数值效率。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals on the basis of the method of generalized multiple Fourier series that converge in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ Expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals are obtained for the case of multiple Fourier-Legendre series and for the case of multiple trigonometric Fourier series $(k=1,\ldots,8)$. Recently, expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities $k=1,\ldots,6$ (the case of continuous weight functions and an arbitrary complete orthonormal system of functions in $L_2([t, T])$) have been obtained. These results are generalized to the case of multiplicitity $k,$ $k\in\mathbb{N}$ (Theorems 51, 53) but under one additional condition. The considered expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. This property is very important for the mean-square approximation of iterated stochastic integrals. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noises.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，利用 L²([t,T]^k) 中的广义多重傅里叶级数，对任意乘次 k 的迭代斯特拉托诺维奇随机积分进行展开。
• 将先前针对乘次 1–6 的结果扩展至 k=7 和 k=8，并进一步推广至一般 k ∈ ℕ，前提是迹级数收敛。
• 仅通过一次极限过程实现均方收敛，相较于现有方法显著提升计算效率。
• 提供勒让德和三角函数傅里叶级数的显式展开式，并给出收敛速率估计。
• 将结果推广至 L²([t,T]) 中的任意完备正交系及各类权函数（包括常数和二项式情形）。

提出的方法

• 在 L²([t,T]^k) 中对迭代斯特拉托诺维奇积分采用广义多重傅里叶级数展开。
• 针对正交系（勒让德多项式与三角函数）应用广义多重傅里叶级数方法。
• 利用 Parseval 恒等式与柯西-布尼亚科夫斯基不等式，推导出级数系数的统一有界性。
• 通过系数的积分表示及控制函数的可积性，推导出收敛性估计。
• 在展开中引入单重极限过程，避免了以往方法中常见的多重极限过程。
• 通过证明积分与其展开式之间差值的数学期望在 p→∞ 时趋于零，建立其在均方意义下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义多重傅里叶级数对乘次为 1 至 8 的迭代斯特拉托诺维奇随机积分进行展开？
• RQ2 对于乘次 2 至 4，这些展开在均方意义下的收敛速率如何？
• RQ3 在迹级数收敛的适当条件下，这些展开能否推广至任意乘次 k ∈ ℕ？
• RQ4 在不同权函数（如常数、连续可微、二项式）及正交系下，展开行为如何？
• RQ5 在推广至任意正交系时，是否可以省略条件 ϕ₀(x) = 1/√(T−t) 及乘积 ψₗψₗ₋₁ 的可积性？

主要发现

• 乘次 k=1 至 8 的展开在 L²([t,T]^k) 中均以均方意义收敛，且通过单重极限过程实现收敛。
• 对于乘次 2 至 4，均方收敛速率估计为 O(p⁻¹)，其中 p 为截断指标。
• 在关联的伏尔泰拉型积分算子迹级数收敛的条件下，该方法可推广至任意 k ∈ ℕ。
• 利用 Parseval 恒等式与柯西-布尼亚科夫斯基不等式，推导出系数级数的统一有界性，进而得到可积的控制函数。
• 证明了展开式在数学期望意义下收敛于真实的斯特拉托诺维奇积分，即 limₚ→∞𝔼|J* − ∑Cⱼ₁…ⱼₖ∏ζⱼₗ⁽ⁱˡ⁾| = 0。
• 在附加假设下，可省略 ϕ₀(x) = 1/√(T−t) 及 ψₗψₗ₋₁ ∈ L²([t,T]) 的条件，从而扩大方法的适用范围。