[论文解读] Expected Coverage of Bayesian Confidence Intervals for the Mean of a Poisson Statistic in Measurements with Background

Ilya V. Narsky|ArXiv.org|May 11, 2000

Scientific Measurement and Uncertainty Evaluation参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文评估了在存在背景的情况下，贝叶斯置信区间对泊松均值的期望覆盖概率和区间长度，比较了四种非主观先验（平坦先验、$1/(s+b)$、$1/\sqrt{s}$、$1/\sqrt{s+b}$）以及两种频率学派方法（Feldman-Cousins统一方法和经典方法）。研究发现，$1/\sqrt{s+b}$ 先验在不同信号类型下提供了最均衡的覆盖概率，且在保持名义覆盖水平方面表现更优。

ABSTRACT

Expected coverage and expected length of 90% upper and lower limit and 68.27% central intervals are plotted as functions of the true signal for various values of expected background. Results for several objective priors are shown, and formulas for calculation of confidence intervals are obtained. For comparison, expected coverage and length of frequentist intervals constructed with the unified approach of Feldman and Cousins and a simple classical method are also shown. It is assumed that the expected background is accurately known prior to performing an experiment. The plots of expected coverage and length are provided for values of signal and background typical for particle experiments with small numbers of events.

研究动机与目标

• 评估已知背景条件下，泊松分布信号的贝叶斯置信区间的期望覆盖概率和区间长度。
• 从覆盖概率和区间长度的角度，比较四种非主观先验（平坦先验、$1/(s+b)$、$1/\sqrt{s}$、$1/\sqrt{s+b}$）的性能。
• 评估频率学派方法（Feldman-Cousins统一方法和经典方法）与贝叶斯方法的性能表现。
• 确定哪种先验能在不同信号和背景水平下提供最可靠且一致的覆盖概率。
• 量化单边区间与中心区间在区间长度与覆盖准确度之间的权衡。

提出的方法

• 使用已知背景 $b$ 的泊松似然函数 $f(n|s) = e^{-(s+b)}(s+b)^n/n!$。
• 通过伽马函数和不完全伽马函数，推导四种非主观先验（平坦先验、$1/(s+b)$、$1/\sqrt{s}$、$1/\sqrt{s+b}$）的后验分布。
• 通过后验分位数计算置信区间：$s_1(n)$ 和 $s_2(n)$，使得 $\int_0^{s_1} \pi(s|n)ds = \alpha_1$，$\int_{s_2}^\infty \pi(s|n)ds = \alpha_2$。
• 计算期望覆盖概率 $C(s) = \sum_n I(n,s) f(n|s)$ 和期望区间长度 $L(s) = \sum_n (s_2(n) - s_1(n)) f(n|s)$，其中 $L_1(s)$ 为下限的长度。
• 对 $b = 0, 1, 3, 6$ 的情况，在 $0 \leq s \leq 10$ 范围内绘制期望覆盖概率与区间长度，数值求和至 $n=100$。
• 与Feldman-Cousins统一方法及经典频率学派方法进行比较，采用Neyman带构造法。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同非主观先验如何影响带背景的泊松测量中贝叶斯置信区间的期望覆盖概率？
• RQ2 哪种先验能在不同信号值和区间类型（上限、下限、中心区间）下提供最一致的覆盖概率？
• RQ3 区间长度如何随先验和信号水平变化？
• RQ4 贝叶斯方法与频率学派方法（Feldman-Cousins方法与经典方法）在覆盖概率和区间长度方面有何差异？
• RQ5 与其它先验相比，$1/\sqrt{s+b}$ 先验是否在保持名义覆盖水平的同时，更优地避免过度覆盖或覆盖不足？

主要发现

• $1/\sqrt{s+b}$ 先验在所有区间类型和信号值下提供了最均衡的期望覆盖概率，有效避免了显著的过度覆盖或覆盖不足。
• 平坦先验在下限中覆盖不足，而在上限中过度覆盖；而Jeffreys先验（$1/(s+b)$）则表现出相反行为。
• $1/\sqrt{s}$ 先验在低信号值下对上限覆盖不足，对下限过度覆盖，尤其在低信号时更为明显。
• 对于中心区间，所有贝叶斯方法的覆盖概率均围绕名义置信水平呈现振荡行为，其中 $1/\sqrt{s+b}$ 先验表现出最稳定的特性。
• 所有贝叶斯方法的期望区间长度随信号增加而渐近收敛，平坦先验产生的区间最长，Jeffreys先验产生的区间最短。
• Feldman-Cousins统一方法在高信号值下产生的双侧区间比其他方法的单侧区间更短，但由于其双侧性质，长度无法直接比较。