[论文解读] Expert Opinions and Logarithmic Utility Maximization for Multivariate Stock Returns with Gaussian Drift

Jörn Saß, Dorothee Westphal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2016

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 28被引用 16

一句话总结

本文为对股票漂移具有部分信息的投资者开发了一种多变量投资组合优化框架，结合了观测到的收益与离散的专家意见。通过矩阵Riccati方程推导了条件协方差矩阵的滤波动态，证明了随着专家意见数量增加，滤波不确定性收敛于零，并表明在完全信息下，最优对数效用趋近于完全信息基准。

ABSTRACT

This paper investigates optimal trading strategies in a financial market with multidimensional stock returns where the drift is an unobservable multivariate Ornstein-Uhlenbeck process. Information about the drift is obtained by observing stock returns and expert opinions. The latter provide unbiased estimates on the current state of the drift at discrete points in time. The optimal trading strategy of investors maximizing expected logarithmic utility of terminal wealth depends on the filter which is the conditional expectation of the drift given the available information. We state filtering equations to describe its dynamics for different information settings. Between expert opinions this is the Kalman filter. The conditional covariance matrices of the filter follow ordinary differential equations of Riccati type. We rely on basic theory about matrix Riccati equations to investigate their properties. Firstly, we consider the asymptotic behaviour of the covariance matrices for an increasing number of expert opinions on a finite time horizon. Secondly, we state conditions for the convergence of the covariance matrices on an infinite time horizon with regularly arriving expert opinions. Finally, we derive the optimal trading strategy of an investor. The optimal expected logarithmic utility of terminal wealth, the value function, is a functional of the conditional covariance matrices. Hence, our analysis of the covariance matrices allows us to deduce properties of the value function.

研究动机与目标

• 建立一个未观测到的多变量漂移遵循Ornstein-Uhlenbeck过程的金融市场模型。
• 将离散的专家意见作为当前漂移状态的无偏估计，以改进投资决策。
• 在部分信息下，通过最大化对数效用推导最优交易策略。
• 分析随着专家意见数量增加，滤波条件协方差矩阵的渐近行为。
• 建立价值函数在专家意见频率增加时向完全信息情形收敛的性质。

提出的方法

• 将漂移建模为具有随机动态的d维Ornstein-Uhlenbeck过程：dµt = α(δ − µt)dt + β dBt。
• 使用卡尔曼滤波计算在观测到的股票收益和专家意见下，漂移的条件期望（滤波）。
• 利用矩阵Riccati微分方程推导滤波及其条件协方差矩阵的连续时间滤波动态。
• 在专家意见到达时刻应用离散时间卡尔曼更新，以改进滤波并减少不确定性。
• 通过分析条件协方差矩阵的谱范数来评估随时间不确定性减少的情况。
• 利用矩阵Riccati方程理论和控制收敛定理，证明价值函数向完全信息基准的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多变量设定下，专家意见的引入如何影响漂移滤波的条件协方差矩阵？
• RQ2 在专家意见数量增加时，什么条件能确保滤波不确定性（条件协方差矩阵）收敛于零？
• RQ3 随着专家意见频率的增加，最优投资组合策略的价值函数如何收敛到完全信息下的价值函数？
• RQ4 当专家意见在无限时间范围内以规则间隔到达时，最优期望对数效用的极限行为是什么？
• RQ5 不同投资者类型（仅收益、仅专家、组合）的效率如何随专家意见频率变化而比较？

主要发现

• 在专家协方差矩阵有界的条件下，即使在有限时间范围内，随着专家意见数量N → ∞，滤波的条件协方差矩阵的谱范数也收敛于零。
• 在无限时间范围内，若专家意见等距分布，则在特定模型参数条件下，条件协方差矩阵收敛于零，如定理4.10所示。
• 终端财富的最优期望对数效用VC,N(x0)随着N → ∞收敛于完全信息下的值VF(x0)，收敛速度取决于模型参数。
• 组合投资者（同时使用收益和专家意见）的效率ρC,N随N增加而上升，且当N → ∞时趋近于100%，表明其表现接近最优。
• 对所有N，有VR(1) ≤ VE,N(1) ≤ VC,N(1) ≤ VF(1)，且VC,N(1)和VE,N(1)关于N单调递增。
• 数值结果表明，当N = 10,000时，组合投资者的价值函数VC,N(1) = 1.4933，达到完全信息值VF(1) = 1.5358的95.84%。