[论文解读] Explicit and Efficient Constructions of Coding Schemes for the Binary Deletion Channel and the Poisson Repeat Channel

Roni Con, Amir Shpilka|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2019

Advanced biosensing and bioanalysis techniques参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文首次提出了二进制删除信道（BDC）和泊松重复信道（PRC）的显式编码构造，针对BDC实现了$(1-p)/16$的码率，针对参数为$u$的PRC实现了$\frac{u}{17}$的码率，采用多项式时间编码与解码。该构造利用一种级联编码方案，其中内码对同步错误具有鲁棒性，从而在随机删除或重复情况下实现高概率解码。

ABSTRACT

This work gives an explicit construction of a family of error correcting codes for the binary deletion channel and for the Poisson repeat channel. In the binary deletion channel with parameter $p$ (BDC$_p$) every bit is deleted independently with probability $p$. A lower bound of $(1-p)/9$ is known on the capacity of the BDC$_p$ \cite{mitzenmacher2006simple}, yet no explicit construction is known to achieve this rate. We give an explicit family of codes of rate $(1-p)/16$, for every $p$. This improves upon the work of Guruswami and Li \cite{guruswami2017efficiently} that gave a construction of rate $(1-p)/120$. The codes in our family have polynomial time encoding and decoding algorithms. Another channel considered in this work is the Poisson repeat channel with parameter $λ$ (PRC$_λ$) in which every bit is replaced with a discrete Poisson number of copies of that bit, where the number of copies has mean $λ$. We show that our construction works for this channel as well. As far as we know, this is the first explicit construction of an error correcting code for PRC$_λ$.

研究动机与目标

• 弥合已知容量下界与二进制删除信道（BDC）显式码构造之间的差距。
• 为泊松重复信道（PRC）提供首个显式编码构造，该信道与BDC密切相关，但此前缺乏显式码设计。
• 实现高于先前显式构造的BDC码率，优于Guruswami与Li提出的$(1-p)/120$码率。
• 设计一种支持多项式时间编码与解码的码，且在随机删除或泊松分布重复下保持高可靠性。

提出的方法

• 采用级联编码方案，将外码与一种对同步错误具有鲁棒性的内码相结合。
• 通过一种结构化方法构造内码，使其在比特按泊松分布被删除或重复时仍能实现可靠解码。
• 解码算法使用缓冲区恢复机制，检测并纠正由删除或重复引起的错误，辅以对错误事件的概率分析。
• 利用泊松尾部不等式与集中不等式对解码失败概率进行上界估计，确保错误率指数级小。
• 通过将比特重复建模为泊松分布的副本，并相应调整解码阈值，将构造适配至PRC。
• 通过分析内码码率与存活符号的期望数量，得出最终码率为$\mathcal{R} > \frac{\lambda}{17}$（PRC）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二进制删除信道构造一种显式高码率纠错码，使其码率趋近于已知容量下界$(1-p)/9$？
• RQ2 能否设计出首个显式纠错码用于泊松重复信道（PRC），该信道用于建模随机比特重复？
• RQ3 在多项式时间编码与解码约束下，显式码在BDC与PRC中可实现的最大码率是多少？
• RQ4 如何设计一种码，使其在概率设置下对删除与插入（或重复）均具有鲁棒性，并实现高概率解码？

主要发现

• 本文为BDC构造了显式码，码率为$(1-p)/16$，优于Guruswami与Li此前提出的$(1-p)/120$显式构造。
• 对于参数为$\lambda$的泊松重复信道，该构造实现了超过$\lambda/17$的码率，标志着首个针对此信道的显式码。
• 解码算法运行时间为多项式时间，且以$1 - \exp(-\Omega(m))$的概率成功，其中$m$为外码的块长。
• 证明了内码对删除与虚假插入均具有鲁棒性，错误概率通过泊松尾部不等式进行有界控制。
• 该构造对编辑距离对抗者具有鲁棒性，简化了分析并增强了解码保证。
• 码率分析表明，随着块长增加，整体码率趋近于$\lambda/17$，且通过显式参数选择确保了高可靠性。