[论文解读] Explicit and Implicit Dynamic Coloring of Graphs with Bounded Arboricity

Monika Henzinger, Stefan Neumann+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文提出一种动态图着色算法，可在分枝度有界的图中维持 $O(\alpha\log n)$-着色，且更新时间为多对数时间，该算法适应当前的分枝度 $\alpha$ 而非随时间变化的最大分枝度。此外，本文引入一种隐式着色方案，支持 $2^{O(\alpha)}$-着色，且更新时间为多对数时间，从而首次实现对分枝度为常数的图（如平面图）的完全动态 $O(1)$-着色。

ABSTRACT

Graph coloring is a fundamental problem in computer science. We study the fully dynamic version of the problem in which the graph is undergoing edge insertions and deletions and we wish to maintain a vertex-coloring with small update time after each insertion and deletion. We show how to maintain an $O(α\lg n)$-coloring with polylogarithmic update time, where $n$ is the number of vertices in the graph and $α$ is the current arboricity of the graph. This improves upon a result by Solomon and Wein (ESA'18) who maintained an $O(α_{\max}\lg^2 n)$-coloring, where $α_{\max}$ is the maximum arboricity of the graph over all updates. Furthermore, motivated by a lower bound by Barba et al. (Algorithmica'19), we initiate the study of implicit dynamic colorings. Barba et al. showed that dynamic algorithms with polylogarithmic update time cannot maintain an $f(α)$-coloring for any function $f$ when the vertex colors are stored explicitly, i.e., for each vertex the color is stored explicitly in the memory. Previously, all dynamic algorithms maintained explicit colorings. Therefore, we propose to study implicit colorings, i.e., the data structure only needs to offer an efficient query procedure to return the color of a vertex (instead of storing its color explicitly). We provide an algorithm which breaks the lower bound and maintains an implicit $2^{O(α)}$-coloring with polylogarithmic update time. In particular, this yields the first dynamic $O(1)$-coloring for graphs with constant arboricity such as planar graphs or graphs with bounded tree-width, which is impossible using explicit colorings. We also show how to dynamically maintain a partition of the graph's edges into $O(α)$ forests with polylogarithmic update time. We believe this data structure is of independent interest and might have more applications in the future.

研究动机与目标

• 解决在动态图中维护顶点着色时，更新时间依赖于当前分枝度 $\alpha$ 而非随时间变化的最大分枝度 $\alpha_{\max}$ 的挑战。
• 克服一个已知下界：该下界表明，显式动态着色无法以多对数时间更新维护 $f(\alpha)$-着色（对任意函数 $f$）。
• 提出并形式化隐式动态着色的概念，即颜色不显式存储，但可高效查询。
• 设计一种数据结构，动态维护边集划分为 $O(\alpha)$ 森林，且更新时间为多对数时间，这是关键技术贡献。

提出的方法

• 设计一种基于层级的分层数据结构，根据顶点的度数将其分配到不同层级，并在更新时动态重新分配。
• 为不同层级子组分配不相交的颜色调色板，以确保着色正确性，且每种子组的调色板大小随层级深度呈指数增长。
• 维护一个层级数据结构，通过追踪过时顶点并递归重新计算颜色，支持高效的更新与查询。
• 并行使用两种数据结构：对低分枝度（$\alpha^* \leq \frac{1}{10}\log n$）使用隐式着色，对高分枝度使用显式着色。
• 利用层级数据结构维护边集划分为 $O(\alpha)$ 森林，这对显式与隐式着色方案均至关重要。
• 使用递归查询机制，通过检查顶点在更高层级邻居的颜色来计算其颜色，确保正确性并控制查询时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种完全动态图着色算法，使得着色大小依赖于当前分枝度 $\alpha$ 而非随时间变化的最大分枝度 $\alpha_{\max}$？
• RQ2 是否能够规避一个下界限制，即禁止多对数时间更新的动态算法维护显式 $f(\alpha)$-着色（对任意函数 $f$）？
• RQ3 隐式动态着色能否在更新与查询时间上实现高效，特别是对分枝度为常数的图？
• RQ4 何种数据结构能高效维护边集在动态更新下划分为 $O(\alpha)$ 森林？
• RQ5 所提出的隐式着色方案能否实现对分枝度为常数的图（如平面图或有界树宽图）的 $O(1)$-着色？

主要发现

• 当 $\alpha^* > \frac{1}{10}\log n$ 时，该算法实现了显式 $O(\alpha\log n)$-着色，摊还更新时间为 $O(\log^2 n)$，查询时间为 $O(1)$。
• 对于 $\alpha^* \leq \frac{1}{10}\log n$ 的图，该算法维护隐式 $2^{O(\alpha)}$-着色，摊还更新时间为 $O(\log^2 n)$，查询时间为 $O\left(\log n\right)$。
• 该算法通过隐式着色首次实现了对分枝度为常数的图（如平面图与有界树宽图）的完全动态 $O(1)$-着色。
• 隐式方案使用的总颜色数为 $O\left(\alpha \log \alpha \log n / \log \log n\right)$，优于 Solomon 与 Wein（ESA’18）的 $O\left(\alpha_{\max} \log^2 n\right)$ 上界。
• 该数据结构动态维护边集划分为 $O\left(\alpha\right)$ 森林，且更新时间为多对数时间，此结果本身具有独立兴趣。
• 任一顶点的查询时间受限于 $O(\log n)$，通过递归着色过程实现，该过程检查其在更高层级邻居的颜色，最坏情况时间由 $O(\alpha^J)$ 主导，其中 $J = \Theta(\log \log n / \log \alpha)$。