[论文解读] Explicit and recursive estimates of the Lambert W function

Lajos Lóczi|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2020

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文提出了Lambert W函数的实分支W₀和W₋₁的显式解析边界以及递归算法，确保收敛性并提供高精度误差估计。提出了一种具有二次收敛速度的递归方法，其初始值在整个定义域内均可保证收敛，并提供了收敛速度的先验估计。此外，利用W₀解决了关于方程x^y = y^x解的增长率的猜想。

ABSTRACT

Solutions to a wide variety of transcendental equations can be expressed in terms of the Lambert $\mathrm{W}$ function. The $\mathrm{W}$ function, occurring frequently in applications, is a non-elementary, but now standard mathematical function implemented in all major technical computing systems. In this work, we discuss some approximations of the two real branches, $\mathrm{W}_0$ and $\mathrm{W}_{-1}$. On the one hand, we present some analytic lower and upper bounds on $\mathrm{W}_0$ for large arguments that improve on some earlier results in the literature. On the other hand, we analyze two logarithmic recursions, one with linear, and the other with quadratic rate of convergence. We propose suitable starting values for the recursion with quadratic rate that ensure convergence on the whole domain of definition of both real branches. We also provide a priori, simple, explicit and uniform estimates on its convergence speed that enable guaranteed, high-precision approximations of $\mathrm{W}_0$ and $\mathrm{W}_{-1}$ at any point. Finally, as an application of the $\mathrm{W}_0$ function, we settle a conjecture about the growth rate of the positive non-trivial solutions to the equation $x^y=y^x$.

研究动机与目标

• 改进大自变量下W₀分支的现有解析边界。
• 为实分支W₀和W₋₁开发具有二次收敛速度的递归算法，确保在整个定义域内收敛。
• 为W₀和W₋₁的高精度近似提供显式、统一且先验的收敛速度估计。
• 利用W₀函数解决关于方程x^y = y^x的正非平凡解增长速率的猜想。

提出的方法

• 推导出大x下W₀(x)的新显式下界和上界，优于先前结果。
• 分析一种具有二次收敛速率的对数递归，提出可确保两个实分支全局收敛的初始值。
• 利用渐近展开和Puiseux级数推导初始近似值与误差估计。
• 应用Stirling循环数定义x → ∞时W₀(x)渐近展开中的系数。
• 采用函数不等式和对数变换证明收敛性与误差边界。
• 通过递归导数分析与级数展开技术，在引理与命题中验证收敛条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 相较于以往结果，是否存在更紧致的大自变量下W₀函数的显式解析边界？
• RQ2 能否为Lambert W函数的两个实分支构造一种具有二次收敛速度且在整个定义域内保证收敛的递归算法？
• RQ3 对于W₀和W₋₁的递归近似，是否存在显式、统一且先验的收敛速度估计？
• RQ4 如何利用W₀函数解决关于x^y = y^x解的增长率的猜想？

主要发现

• 对于x > e，W₀(x)的新显式边界优于早期结果，上下界估计均包含对数项，且更紧密。
• 提出一种具有二次收敛速度的递归方法，其初始值可确保W₀和W₋₁在整个定义域内收敛。
• 提供了先验收敛速度估计，使得在任意点均可保证对W₀和W₋₁的高精度近似。
• 本文证明了x^y = y^x的正非平凡解的增长率渐近等价于y ~ x / W₀(x)，从而解决了该猜想。
• 对于x ≥ e及任意正整数m，不等式0 ≤ (ln(x) − W₀(x)) / W₀^m(x) ≤ 1 / (√(2m))成立，且还建立了更紧的边界1 / (me)。
• 引理A.13与A.14证实了W₀(x)的高阶渐近近似（超过二阶项）的有效性，确保大x时的精度。