[论文解读] Explicit Coleman integration for hyperelliptic curves

Jennifer S. Balakrishnan, Robert Bradshaw+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 6

一句话总结

本论文提出了一种算法，用于在 $ p > 2 $ 且具有良好约化的超椭圆曲线上的 $ \mathbb{C}_p $ 上计算单个 Coleman 积分，该方法利用 Frobenius 可交换性与 de Rham 上同调计算。该方法在 Sage 中实现了显式 $ p $-进积分，应用于有理点、$ p $-进高度以及 $ p $-进正规化问题。

ABSTRACT

Coleman's theory of p-adic integration figures prominently in several number-theoretic applications, such as finding torsion and rational points on curves, and computing p-adic regulators in K-theory (including p-adic heights on elliptic curves). We describe an algorithm for computing Coleman integrals on hyperelliptic curves, and its implementation in Sage.

研究动机与目标

• 开发一种在 $ \mathbb{C}_p $ 上、$ p > 2 $ 且具有良好约化的超椭圆曲线上计算单个 Coleman 积分的算法。
• 在 Sage 计算代数系统中实现该算法以支持实际计算。
• 在算术几何中实现应用，包括 $ p $-进高度、通过 Chabauty 方法计算有理点，以及 $ p $-进正规化。
• 将 $ p $-进积分的适用范围扩展至亏格大于 0 的情况，此前仅有限的实现存在于亏格 0 情况。
• 为高亏格曲线上的迭代 Coleman 积分与非交换 Chabauty 方法奠定基础。

提出的方法

• 利用 Coleman 基于 Frobenius 可交换性的 $ p $-进积分理论，定义超椭圆曲线上积分的定义。
• 利用第三作者提出的算法，计算超椭圆曲线上 de Rham 上同调的 Frobenius 作用。
• 将 Coleman 积分表示为由 Frobenius 可交换性与上同调数据导出的线性系统的解。
• 构造与除子 $ D_1 $ 关联的微分形式 $ \omega_{D_1} $，通过 $ h_p(D_1,D_2) = \int_{D_2} \omega_{D_1} $ 计算 Coleman-Gross $ p $-进高度配对。
• 在 Sage 中实现该算法，使用 $ p $-进展开与 $ \mathbb{Q}_p $ 上的线性代数。
• 将该方法应用于有理点处的积分计算，并验证 Chabauty 类方法的消失条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 Frobenius 可交换性与上同调数据，显式计算超椭圆曲线上 Coleman 积分？
• RQ2 此类积分的计算复杂度为何？如何优化其在计算机代数系统中的实现？
• RQ3 显式 Coleman 积分能否用于计算超椭圆曲线雅可比簇上的 $ p $-进高度？
• RQ4 Coleman 积分在多大程度上可增强 Chabauty 方法，以在高亏格曲线上寻找有理点？
• RQ5 如何计算并应用迭代 Coleman 积分于非交换 Chabauty 方法与 $ p $-进 $ K $-理论中？

主要发现

• 该算法实现了在 $ \mathbb{C}_p $ 上具有良好约化的超椭圆曲线上单个 Coleman 积分的显式计算，适用于 $ p > 2 $。
• 在 Sage 中的实现允许对有理点处的积分进行数值验证，例如在亏格 3 曲线上，对 $ Q = (3,6) $ 有 $ \int_{\infty}^{Q} \omega = 0 $。
• 该方法成功通过 $ h_p(D_1,D_2) = \int_{D_2} \omega_{D_1} $ 计算了 $ p $-进高度配对，并提供了显式的 $ p $-进展开。
• 该方法支持 $ p $-进正规化与 $ p $-进多对数的计算，未来具有潜在的数值探索空间。
• 该算法通过在剩余域中计算积分以定位有理点，展示了其在 Chabauty 方法中的可行性。
• 未来扩展至迭代积分与更大素数在理论上是可行的，尤其借助 Harvey 改进的 $ p $-进算法。