[论文解读] Explicit Computational Paths

Arthur Ramos, Ruy J. G. B. de Queiroz+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2016

Formal Methods in Verification被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于计算路径的同伦类型论代数方法——计算路径是作为相等性语法证明的重写序列。通过扩展 $LND_{EQ}-TRS$ 项重写系统并直接通过计算路径建模路径空间，作者构造了圆的基本群并证明其同构于 $ℤ$，为标准的 code-encode-decode 方法提供了一种基于语法的替代方案。

ABSTRACT

The treatment of equality as a type in type theory gives rise to an interesting type-theoretic structure known as `identity type'. The idea is that, given terms $a,b$ of a type $A$, one may form the type $Id_{A}(a,b)$, whose elements are proofs that $a$ and $b$ are equal elements of type $A$. A term of this type, $p : Id_{A}(a,b)$, makes up for the grounds (or proof) that establishes that $a$ is indeed equal to $b$. Based on that, a proof of equality can be seen as a sequence of substitutions and rewrites, also known as a `computational path'. One interesting fact is that it is possible to rewrite computational paths using a set of reduction rules arising from an analysis of redundancies in paths. These rules were mapped by De Oliveira in 1994 in a term rewrite system known as $LND_{EQ}-TRS$. Here we use computational paths and this term rewrite system to develop the main foundations of homotopy type theory, i.e., we develop the lemmas and theorems connected to the main types of this theory, types such as products, coproducts, identity type, transport and many others. We also show that it is possible to directly construct path spaces through computational paths. To show this, we construct the natural numbers and the fundamental group of the circle, showing results connected to these structures.

研究动机与目标

• 建立一种基于计算路径作为相等性正式证明的同伦类型论的句法计算基础。
• 通过引入一种形式化、基于重写的相等性推理系统，克服同伦路径的语义局限性。
• 证明计算路径能够直接模拟路径空间，而无需依赖 code-encode-decode 等复杂技术。
• 通过新增重写规则扩展 $LND_{EQ}-TRS$ 项重写系统，以支持路径代数和类型论构造。
• 仅使用计算路径重构同伦类型论中的关键结果，如圆的基本群与 $ℤ$ 的同构性。

提出的方法

• 将计算路径定义为源自类型论公理和规则的重写序列，形成相等性的正式句法。
• 使用 $LND_{EQ}-TRS$ 项重写系统对计算路径进行约化和归一化，通过一组 47 条重写规则消除冗余。
• 引入新的重写规则（例如 $\tau(\mu(r),\mu(s))=_{tf}\mu(\tau(r,s))$）以代数方式建模路径复合、转移和身份类型。
• 通过计算路径直接构造路径空间，避免语义解释或外部编码方案。
• 将路径复合、逆路径 ($\sigma$) 和身份路径 ($\rho$) 定义为路径代数内的句法操作。
• 通过将路径 $loop^n$ 映射到整数 $n$，利用递归路径构造和逆函数，证明圆的基本群与 $ℤ$ 同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算路径能否作为同伦类型论的完全句法基础，从而取代语义或编码方法？
• RQ2 如何扩展 $LND_{EQ}-TRS$ 重写系统以支持类型论中计算路径的完整代数？
• RQ3 能否在不使用 code-encode-decode 技术的前提下，直接从计算路径构造圆的基本群？
• RQ4 需要哪些重写规则才能在存在身份类型和路径复合的情况下确保路径的归一化与一致性？
• RQ5 通过计算路径，自然数的路径空间和圆的基本群是否同构于标准代数结构？

主要发现

• 圆的基本群 $\Pi_1(S^1, a)$ 同构于 $\mathbb{Z}$，路径表示为 $loop^n$（$n \in \mathbb{Z}$），其中 $n$ 对应该路径的卷绕数。
• 通过两个互逆函数 $toInteger$ 和 $toPath$（均基于路径结构递归定义）直接构造了 $\Pi_1(S^1, a)$ 与 $\mathbb{Z}$ 之间的同构。
• 作者在 $LND_{EQ}-TRS$ 中扩展了 7 条新重写规则（例如 $\mu_{f}(\rho_x) =_{mxp} \rho_{f(x)}$）以代数方式建模路径转移和身份类型。
• 路径代数通过基于重写的归一化，支持同伦类型论的所有核心构造，包括乘积、余积、身份类型和转移。
• 该方法通过直接通过计算路径建模路径空间，避免了对 code-encode-decode 方法的需求，为语义构造提供了一种句法替代方案。
• 路径代数否定了身份证明的唯一性，通过基于计算路径的范畴论模型，验证了 Hofmann & Streicher (1995) 的一个关键结果。