[论文解读] Explicit Description of HARA Forward Utilities and Their Optimal Portfolios

Tahir Choulli, Junfeng Ma|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文利用最小赫林格鞅密度，在半鞅市场模型中对HARA型前向效用及其最优投资组合提供了完整且显式的表征。通过推导效用参数与最优交易策略的闭式动态，将前向效用理论从指数型效用扩展至更一般的HARA类，实现了显式参数化与投资组合规则。

ABSTRACT

This paper deals with forward performances of HARA type. Precisely, for a market model in which stock price processes are modeled by a locally bounded $d$-dimensional semimartingale, we elaborate a complete and explicit characterization for this type of forward utilities. Furthermore, the optimal portfolios for each of these forward utilities are explicitly described. Our approach is based on the minimal Hellinger martingale densities that are obtained from the important statistical concept of Hellinger process. These martingale densities were introduced recently, and appeared herein tailor-made for these forward utilities. After outlining our parametrization method for the HARA forward, we provide illustrations on discrete-time market models. Finally, we conclude our paper by pointing out a number of related open questions.

研究动机与目标

• 在一般半鞅市场模型中，提供HARA型前向绩效效用的完整且显式表征。
• 推导定义HARA前向效用的参数D、p、D̄和D̂的显式动态。
• 表征与每一类HARA前向效用相关的最优投资组合。
• 利用最小赫林格鞅密度，将前向效用理论从指数型效用扩展至更广泛的HARA类。
• 在离散时间市场模型中展示该框架，并识别未来研究的开放问题。

提出的方法

• 作者使用最小赫林格鞅密度作为核心工具，该密度由赫林格过程导出，用于参数化HARA前向效用。
• 他们以U(t,x) = D(t,x)·x^{p(t)}或U(t,x) = D̄(t) + D̂(t)·log(x)的形式建立HARA前向效用的参数化，并给出D、p、D̄、D̂的显式动态。
• 该方法依赖于正局部鞅Z的存在性，并通过共轭指数q = p/(p−1)（当p ∈ (−∞,1)时）构造对偶过程。
• 关键方程涉及求解β̃，使得b^Z + (p−1)cλ + ∫[(1+λ^T x)^{p−1}−1]xF^Z(dx) = 0，以确保最小赫林格密度的存在性。
• 通过Yor公式推导最优投资组合，并利用Z̃ = E(∫H^Z dS + q(q−1)h^{(q)}(Z̃,Z))将前向效用与最小赫林格过程联系起来。
• 该框架通过离散时间市场模型得到验证，并推广至具有局部有界性的广义半鞅设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般半鞅市场模型中，HARA型前向效用如何实现显式参数化？
• RQ2 定义HARA前向效用的参数D(t)、p(t)、D̄(t)和D̂(t)的随机动态是什么？
• RQ3 如何为每一类HARA前向效用显式推导最优投资组合策略？
• RQ4 最小赫林格鞅密度在表征HARA前向效用中起什么作用？
• RQ5 所提出的框架与先前关于指数型前向效用的工作相比有何不同与扩展？

主要发现

• 本文提供了HARA前向效用的显式参数化形式：U(t,x) = D(t)x^{p(t)}或U(t,x) = D̄(t) + D̂(t)log(x)，并完全确定了D、p、D̄、D̂的动态。
• 每个HARA前向效用的最优投资组合通过涉及最小赫林格鞅密度与过程β̃的方程组解显式表征。
• 证明了最小赫林格鞅密度Z̃满足Z̃^{q−1} = E(∫H^Z dS + q(q−1)h^{(q)}(Z̃,Z))，将效用与底层市场动态联系起来。
• 赫林格过程h^{(q)}(Z̃,Z)的动态被显式推导，其中q(q−1)dh^{(q)}(Z̃,Z)以半鞅的扩散与跳变分量表示。
• 在{ΔA = 0}上，表达式q(q−1)dh^{(q)}(Z̃,Z)简化为(p/2)β̃^T c β̃ dA + ∫[(1+β̃^T x)^p −1 − q(1+β̃^T x)^{p−1} + q]F^Z(dx)dA。
• 该框架与Choulli等（2011）提出的指数型前向效用框架不兼容，原因在于风险规避过程不同。