[论文解读] Explicit Evaluation of Certain Exponential Sums of Quadratic Functions over $\Bbb F_{p^n}$, $p$ Odd

Sandra Draper, Xiang‐dong Hou|ArXiv.org|Aug 27, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 11

一句话总结

本文为奇素数 $p$ 的有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上二次函数的指数和提供了显式公式。在 $p$-进阶条件约束下，推导了 $S(f,mn)$ 相对于 $S(f,n)$ 的相对公式，并在所有 $\nu_2(\alpha_i)$ 相等且小于 $\nu_2(n)$ 的条件下，给出了 $S(f,n)$ 的显式计算，推广了 Carlitz 以及 Baumert–McEliece 的先前结果。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime and let $f(x)=\sum_{i=1}^ka_ix^{p^{α_i}+1}\in\Bbb F_{p^n}[x]$, where $0\le α_10$. Assuming that all such nullities are known, we find relative formulas for $S(f,mn)$ in terms of $S(f,n)$ when $ν_p(m) \le \min\{ν_p(α_i):1\le i\le k\}$, where $ν_p$ is the $p$-adic order. We also find an explicit formula for $S(f,n)$ when $ν_2(α_1)=...= ν_2(α_k)

研究动机与目标

• 推广奇素数 $p$ 的有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上多项式 $f(x) = \sum_{i=1}^k a_i x^{p^{\alpha_i}+1}$ 的指数和 $S(f,n) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^n}} e_n(f(x))$ 的显式计算结果。
• 在二次型 $\operatorname{Tr}_{mn}(f(x))$ 的亏格已知且 $m$ 满足 $p$-进阶约束的条件下，建立 $S(f,mn)$ 相对于 $S(f,n)$ 的相对公式。
• 在 $\nu_2(\alpha_1) = \cdots = \nu_2(\alpha_k) < \nu_2(n)$ 条件下，推导 $S(f,n)$ 的显式公式，推广此前针对 $p=2$ 的结果。
• 提供一种系统化方法，用于计算二次型 $\operatorname{Tr}_n(f(x))$ 的亏格与类型，其完全决定了 $S(f,n)$ 的值。

提出的方法

• 通过 $\mathbb{F}_p$ 上的规范型理论，将 $S(f,n)$ 表示为二次型 $\operatorname{Tr}_n(f(x))$ 的亏格与类型的函数。
• 基于 $f(x)$ 中的指数 $\alpha_i$ 与系数 $a_i$，提出一种有效算法，用于计算 $\operatorname{Tr}_n(f(x))$ 的亏格。
• 对于相对公式，研究当 $m = q^s$（$q$ 为素数）时的 $S(f,mn)$，区分三种情况：$q \neq p,2$，$q=2$，$q=p$，并利用迹与域扩张的性质。
• 当 $m = p^s$ 时，需满足条件 $\nu_p(m) \leq \min_i \nu_p(\alpha_i)$，以通过迹与双线性型的不变性，将 $S(f,pn)$ 与 $S(f,n)$ 关联。
• 对于显式计算，利用条件 $\nu_2(\alpha_1) = \cdots = \nu_2(\alpha_k) < \nu_2(n)$ 推导出 $S(f,n)$ 的闭式表达，借助 $2$-进阶对称性。
• 该方法依赖于迹恒等式、高斯和性质，以及有限域特征标下的二次互反律。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $f(x) = \sum_{i=1}^k a_i x^{p^{\alpha_i}+1}$ 在 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上，$p$ 为奇素数，$S(f,mn)$ 在何种条件下可显式表示为 $S(f,n)$ 的函数？
• RQ2 指数 $\alpha_i$ 与扩张次数 $n$ 的 $p$-进阶如何影响 $S(f,n)$ 的计算？
• RQ3 当所有 $\nu_2(\alpha_i)$ 相等且小于 $\nu_2(n)$ 时，能否推导出 $S(f,n)$ 的显式公式？
• RQ4 二次型 $\operatorname{Tr}_n(f(x))$ 的亏格与类型在确定 $S(f,n)$ 值时起何作用？
• RQ5 当 $m=q^s$ 时，$S(f,mn)$ 的相对公式在 $q \neq p,2$、$q=2$ 与 $q=p$ 三种情况下有何不同？

主要发现

• 当 $\nu_p(m) \leq \min_i \nu_p(\alpha_i)$ 时，本文给出了 $S(f,mn)$ 相对于 $S(f,n)$ 的相对公式，该公式对所有满足 $\nu_p(m)$ 不超过指数最小 $p$-进阶的 $m$ 均成立。
• 当 $m = q^s$ 且 $q \neq p,2$ 时，本文利用迹与域扩张对称性，推导出 $S(f,qn)$ 相对于 $S(f,n)$ 的显式相对公式。
• 当 $m = 2^s$ 时，本文给出了 $S(f,2^s n)$ 相对于 $S(f,n)$ 的相对公式，利用了扩展次数加倍时二次型的结构特性。
• 当 $m = p^s$ 时，$S(f,pn)$ 相对于 $S(f,n)$ 的公式仅在 $\nu_p(n) < \min_i \nu_p(\alpha_i)$ 条件下成立，以确保形式类型在基域扩张下保持不变。
• 在 $\nu_2(\alpha_1) = \cdots = \nu_2(\alpha_k) < \nu_2(n)$ 条件下，本文给出了 $S(f,n)$ 的显式公式，其包含了特殊情形 $S(ax^{p^\alpha+1})$ 的闭式计算结果。
• 本文提供了 $p^n = 3$ 和 $p^n = 5$ 时 $\operatorname{Tr}_n(f)$ 的亏格表，其中 $\alpha_k \leq 4$ 与 $\alpha_k \leq 3$，支持 $S(f,n)$ 的计算。