[论文解读] Explicit evaluation of harmonic sums

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过积分表示法，给出了调和和、交替调和和以及欧拉型和的显式闭式表达。推导了二次和三次欧拉和的显式公式，其以黎曼zeta函数值和线性和表示，并建立了调和数与第一类斯特林数之间的新关系。

ABSTRACT

In this paper, we obtain some formulae for harmonic sums, alternating harmonic sums and Stirling number sums by using the method of integral representations of series. As applications of these formulae, we give explicit formula of several quadratic and cubic Euler sums through zeta values and linear sums. Furthermore, some relationships between harmonic numbers and Stirling numbers of the first kind are established.

研究动机与目标

• 通过积分表示法，推导广义调和和、交替调和和以及斯特林数和的显式公式。
• 以黎曼zeta函数值和线性和表示二次和三次欧拉和。
• 在无穷级数的背景下，建立调和数与第一类斯特林数之间的新代数关系。
• 为涉及调和数和交替调和数的特定类欧拉型和提供闭式求值。

提出的方法

• 以级数的积分表示作为核心分析技术，用于求值调和和。
• 将该方法应用于推导形如 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(m)}{n(n+k)}$ 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n(m)}{n(n+k)}$ 的和的闭式表达，以zeta值和调和数表示。
• 通过恒等式 $\sum_{n=p-1}^\infty \frac{S(n+1,p)}{n!n(n+k)}$，利用阶乘和zeta函数恒等式，对涉及第一类斯特林数的和进行求值。
• 利用已知的交替欧拉和与多对数函数结果，将复杂和化为zeta值和对数项的组合。
• 采用欧拉和的权重与次数框架，对不同复杂度的和进行分类并系统求值。
• 利用已知的 $\bar{S}_{1,0,3}$ 和 $\bar{S}_{0,1,3}$ 的求值结果作为基准，验证推导出的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过积分表示法，将形如 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(m)}{n(n+k)}$ 的调和和表示为闭式？
• RQ2 如何将更高权重的交替调和和与欧拉和化为黎曼zeta函数值和线性和的组合？
• RQ3 在无穷级数的背景下，调和数与第一类斯特林数之间存在何种关系？
• RQ4 对于涉及调和数与 $n^{-p}$ 幂乘积的三次和二次欧拉和，可以推导出哪些显式闭式？
• RQ5 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n(1)^2}{n^2}(-1)^{n-1}$ 能否以zeta函数值和多对数函数显式求值？

主要发现

• 显式求得和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n^2(1)}{n^2}(-1)^{n-1} = -\frac{41}{16}\zeta(4) + 2\zeta(2)\ln^2 2 + \frac{1}{6}\ln^4 2 + \frac{7}{4}\zeta(3)\ln 2 + 4\text{Li}_4(\frac{1}{2})$。
• 以闭式推导出和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n^2(1)}{n^3}(-1)^{n-1} = -4\text{Li}_4(\frac{1}{2})\ln 2 + \frac{19}{8}\zeta(4)\ln 2 + \zeta(2)\ln^3 2 - \frac{1}{6}\ln^5 2 + \frac{3}{8}\zeta(2)\zeta(3) - \frac{19}{32}\zeta(5)$。
• 显式计算出和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n(1)L_n(2)}{n}(-1)^{n-1} = \frac{61}{16}\zeta(4) - \frac{7}{8}\zeta(3)\ln 2 - \frac{1}{4}\zeta(2)\ln^2 2 - \frac{1}{6}\ln^4 2 - 4\text{Li}_4(\frac{1}{2})$。
• 三次欧拉和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^3}{n^5} = \frac{469}{32}\zeta(8) - 16\zeta(3)\zeta(5) + \frac{3}{2}\zeta(2)\zeta^2(3) + \frac{11}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(2)}{n^6}$ 以zeta和线性和表示求值。
• 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n \zeta_n(2)}{n^5} = -\frac{343}{48}\zeta(8) + 12\zeta(3)\zeta(5) - \frac{5}{2}\zeta(2)\zeta^2(3) - \frac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(2)}{n^6}$ 以闭式表达。
• 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2 \zeta_n(3)}{n^3} = \frac{9}{2}\zeta(3)\zeta(5) + \frac{3}{2}\zeta(2)\zeta^2(3) - \frac{443}{288}\zeta(8) - \frac{23}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(2)}{n^6}$ 显式求值。