[论文解读] Explicit expressions for the moments of the size of an (n, dn-1)-core partition with distinct parts

Anthony Zaleski|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2017

Analytic Number Theory Research被引用 4

一句话总结

本文通过偏序集（poset）表征法与计算机辅助符号计算，推导出$(n, dn-1)$-核心分拆（部分互异）的矩（均值、方差及高阶矩）的显式多项式与有理函数公式。主要贡献在于，对于固定的$d$，推测当$n \to \infty$时，其大小分布渐近服从正态分布，并给出了以$n$和$d$表示的矩的闭式表达式，该结果通过Maple实现的自动枚举与递推拟合得到验证。

ABSTRACT

In a previous paper (arXiv:1608.02262), we used computer-assisted methods to find explicit expressions for the moments of the size of a uniform random (n,n+1)-core partition with distinct parts. In particular, we conjectured that the distribution is asymptotically normal. However, our analysis hinged on a characterization of (n,n+1)-core partitions given by Straub, which is not readily generalized to other families of simultaneous core partitions. In another paper (arXiv:1611.05775) with Doron Zeilberger, we made use of the characterization in terms of posets to analyze (2n+1,2n+3)-core partitions with distinct parts; here, the distribution was found not to be asymptotically normal. Our method involved finding recursive structure in the relevant sequence of posets. We remarked that this method is applicable to other families of core partitions, provided that one can understand the corresponding posets. Here, we use the poset method (and, as before, a computer) to analyze (n,dn-1)-core partitions with distinct parts, where d is a natural number. (This problem was introduced by Straub in arXiv:1601.07161.) We exhibit formulas for the moments of the size, as functions of d with n fixed, and vice versa. We conjecture that the distribution is asymptotically normal as n approaches infinity. Finally, we find formulas for the first few moments, as functions of both n and d.

研究动机与目标

• 推导$(n, dn-1)$-核心分拆（部分互异）大小的矩的显式闭式表达式，其中$d$为固定的自然数。
• 将先前关于$(n,n+1)$-与$(2n+1,2n+3)$-核心分拆（部分互异）的结果，推广至更广泛的$(n,dn-1)$-核心分拆族。
• 研究此类分拆大小的渐近分布，特别是其是否在$n \to \infty$时收敛于正态分布。
• 开发并应用基于偏序集与递推拟合算法的符号计算框架，以生成并验证矩公式。

提出的方法

• 利用$(s,t)$-核心分拆（部分互异）的偏序集表征法，其中此类分拆对应于偏序集$P_{s,t} = \mathbb{N} \setminus (s\mathbb{N} + t\mathbb{N})$中的无连续标签的序理想。
• 利用$(n, dn-1)$-核心分拆的偏序集的递归结构，推导生成函数与矩序列。
• 应用计算机代数系统（Maple）将矩序列拟合至多项式与有理函数形式的假设解，使用GuessRecPol算法识别递推模式。
• 固定$n$或$d$，以推导矩公式作为另一变量的函数，随后推广为$n$与$d$的双变量公式。
• 使用符号线性代数求解形如$A(n,d)N_d(n) + B(n,d)N_d(n+1)$的矩表达式中的系数，其中$N_d(n)$满足广义斐波那契递推关系。
• 通过计算标准化矩的极限并与正态分布的已知序列比较，验证猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为$(n, dn-1)$-核心分拆（部分互异）的大小矩推导出以$n$与$d$为变量的显式公式？
• RQ2 对于固定的$d$，当$n \to \infty$时，$(n, dn-1)$-核心分拆（部分互异）的大小分布是否收敛于正态分布？
• RQ3 能否利用$(n, dn-1)$-核心分拆的偏序集结构，推导出递归生成函数与矩公式？
• RQ4 当$n$与$d$同时变化时，矩的行为如何？能否构建统一的双变量公式？
• RQ5 为何$d=2$（此时$N_2(n) = 2^{n-1}$）在矩公式中表现出异常行为？能否通过极限计算将公式推广至该情形？

主要发现

• 当$n=3$时，$X_{d,3}$的期望为$\frac{d^2}{3} + \frac{d}{4} - \frac{1}{12}$，方差为$\frac{4d^4}{45} + \frac{d^3}{12} - \frac{d^2}{144} + \frac{d}{24} + \frac{31}{720}$，确认了固定$n=3$时的多项式行为。
• 当$d=3$时，$X_{3,n}$的期望为$n$与$N_3(n)$的有理函数，其显式公式为：$\frac{25}{39}n^2 - \frac{479}{507}n + \frac{406}{507} + \frac{N_3(n+1)}{N_3(n)} \left( -\frac{1}{39}n^2 + \frac{29}{169}n - \frac{158}{507} \right)$。
• 一般情况下，$X_{d,n}$的期望可表示为$n$与$d$的有理函数，涉及$N_d(n)$与$N_d(n+1)$，且在$d=2$处存在奇点，但可通过极限计算消除。
• 第$k$阶前矩$m_k(d,n)$的猜想形式为$A(n,d)N_d(n) + B(n,d)N_d(n+1)$，其中$A$与$B$为关于$n$的$2k$次多项式，其系数为关于$d$的有理函数。
• 对$d=2$计算的标准化矩与序列$0,1,0,3,0,15,\dots$一致，与正态分布相符，支持了渐近正态性的猜想。
• 在$(2n+1,2n+3)$-核心分拆情形下，$d=1$时分布不渐近正态，但当前结果表明当$d \geq 3$时分布渐近正态，$d=2$为特殊情况。