[论文解读] Explicit Form of Solution of Two Atoms Tavis-Cummings Model

Kazuyuki Fujii, Kyoko Higashida+2 more|ArXiv.org|Mar 1, 2004

Quantum Information and Cryptography参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文利用自旋-1表示和矩阵指数技术，首次为共振条件下两原子Tavis-Cummings模型提供了显式的解析解。该解通过幺正变换推导得出，以数算符的三角函数形式表达，可直接应用于囚禁激光冷却原子的微腔量子电动力学系统中的量子门设计。

ABSTRACT

In this paper we consider the two atoms Tavis--Cummings model and give an explicit form to the solution of this model which will play a central role in quantum computation based on atoms of laser--cooled and trapped linearly in a cavity. We also present a problem of three atoms Tavis--Cummings model which is related to the construction of controlled--controlled NOT operation (gate) in quantum computation.

研究动机与目标

• 推导两原子Tavis-Cummings模型时间演化算符的显式解析形式，该问题在文献中尚未解决。
• 促进利用微腔中囚禁的激光冷却原子实现受控量子门（特别是受控-受控-非门）的构建，这对量子计算至关重要。
• 将已知的一原子解推广至两原子情形，为微腔QED中的多量子比特操作提供基础。
• 识别并提出三原子Tavis-Cummings模型作为一项具有挑战性的开放问题，需进一步研究以实现完整量子门操作。

提出的方法

• 利用 $ su(2) $ 代数结构，将哈密顿量转化为涉及集体自旋算符 $ S_+ $、$ S_- $ 和 $ S_3 $ 的形式。
• 应用常数变易法求解时间依赖的薛定谔方程，将问题简化为对算符 $ A = S_+ \otimes a + S_- \otimes a^\dagger $ 的指数运算。
• 利用共振条件 $ \Delta = \omega $，将时间演化算符简化为 $ U(t) = e^{-it\omega S_3} \otimes e^{-it\omega N} \cdot e^{-itgA} $，重点处理 $ e^{-itgA} $。
• 在两原子情形下，利用自旋-1的 $ \mathfrak{su}(2) $ 不可约表示，将 $ 4 \times 4 $ 矩阵 $ A $ 约化为 $ 3 \times 3 $ 矩阵 $ B $，从而简化指数计算。
• 通过 $ B $ 的幂次的递推关系计算 $ e^{-itgB} $，得到包含 $ \cos(tg\sqrt{D}) $ 和 $ \sin(tg\sqrt{D})/\sqrt{D} $ 的闭式表达，其中 $ D $ 为对角算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 在共振条件下，两原子Tavis-Cummings模型的时间演化算符的显式解析形式是什么？
• RQ2 如何利用两原子的集体自旋结构来简化多体哈密顿量的求解？
• RQ3 能否将两原子的解推广至三原子情形，以实现在量子计算中的受控-受控-非门？
• RQ4 何种代数结构使得在两原子情形下能够显式计算 $ \exp(-itgA) $，而为何该方法在三原子情形下失效？

主要发现

• 两原子Tavis-Cummings模型的显式解为 $ \exp(-itgA) = \sum_{j=0}^\infty (-1)^j \frac{(tg\sqrt{D})^{2j}}{(2j)!} - i \frac{1}{\sqrt{D}} \sum_{j=0}^\infty (-1)^j \frac{(tg\sqrt{D})^{2j+1}}{(2j+1)!} A $，其中 $ D = \text{diag}(N+1, N) $，结果以 $ \cos(tg\sqrt{N+1}) $、$ \sin(tg\sqrt{N+1})/\sqrt{N+1} $ 等形式的矩阵表达式呈现。
• 解以分块矩阵形式明确写出为 $ \begin{pmatrix} \cos(tg\sqrt{N+1}) & -i \frac{\sin(tg\sqrt{N+1})}{\sqrt{N+1}} a \\ -i \frac{\sin(tg\sqrt{N})}{\sqrt{N}} a^\dagger & \cos(tg\sqrt{N}) \end{pmatrix} $，适用于单原子情形。
• 对于两原子情形，解被约化为 $ 3 \times 3 $ 矩阵 $ B $，并通过递推关系 $ B^3 = D B $（其中 $ D $ 为对角矩阵）计算指数 $ \exp(-itgB) $。
• 所得矩阵元以 $ \cos(tg\sqrt{2(2N+3)}) $、$ \sin(tg\sqrt{2(2N+3)}) $ 等的有理函数形式表达，系数包含 $ N $、$ a $ 和 $ a^\dagger $。
• 该方法成功将单原子解推广至两原子情形，提供了文献中此前未见的完整显式形式。
• 三原子情形仍无解，原因在于 $ A^k $ 缺乏类似的递推关系，作者将其列为未来研究的开放问题。