[论文解读] Explicit formulas for derivatives of tangent and cotangent and for Bernoulli and other numbers

Feng Qi|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Advanced Mathematical Identities被引用 3

一句话总结

本文利用Faà di Bruno公式与复分析技巧，推导出正切与余切函数高阶导数的显式公式。文章建立了伯努利数、格诺奇数、欧拉多项式在零点的取值以及黎曼ζ函数在偶数点取值的新显式表达式与递推关系，同时给出了正弦函数及三角与双曲函数导数多项式的恒等式。

ABSTRACT

In the paper, by induction, the Faa di Bruno formula, and some techniques in the theory of complex functions, the author finds explicit formulas for higher order derivatives of the tangent and cotangent functions as well as powers of the sine and cosine functions, obtains explicit formulas for two Bell polynomials of the second kind for successive derivatives of sine and cosine functions, presents curious identities for the sine function, discovers explicit formulas and recurrence relations for the tangent numbers, the Bernoulli numbers, the Genocchi numbers, special values of the Euler polynomials at zero, and special values of the Riemann zeta function at even numbers, and comments on five different forms of higher order derivatives for the tangent function and on derivative polynomials of the tangent, cotangent, secant, cosecant, hyperbolic tangent, and hyperbolic cotangent functions.

研究动机与目标

• 推导正切与余切函数高阶导数的显式公式。
• 获得伯努利数、格诺奇数以及欧拉多项式在零点处特殊值的闭式表达式。
• 建立黎曼ζ函数在偶数点取值的显式公式与递推关系。
• 探索并呈现正弦函数及三角与双曲函数导数多项式的恒等式。
• 比较正切函数高阶导数的五种不同形式，并分析其多项式结构。

提出的方法

• 应用Faà di Bruno公式计算涉及正切与余切的复合函数的高阶导数。
• 运用复变函数理论中的技巧，推导导数与特殊函数的结构性质。
• 基于归纳法，从导数模式中推导伯努利数与格诺奇数的显式公式。
• 识别出对应于正弦与余弦函数连续导数的两种特定第二类贝尔多项式。
• 推导正切数与欧拉多项式在零点处特殊值的递推关系。
• 分析正切、余切、正割、余割及其双曲对应函数的导数多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 正切与余切函数的n阶导数可以推导出哪些显式公式？
• RQ2 如何利用导数结构，通过显式公式或递推关系表达伯努利数与格诺奇数？
• RQ3 从推导出的导数模式中，正弦函数会涌现出哪些恒等式？
• RQ4 黎曼ζ函数在偶数点的特殊值是什么？它们如何从三角函数导数中推导得出？
• RQ5 正切函数高阶导数的五种不同形式之间有何关系？其背后的多项式结构是什么？

主要发现

• 利用Faà di Bruno公式与复分析，推导出正切与余切函数n阶导数的显式公式。
• 为正切数、伯努利数与格诺奇数建立了新的递推关系与闭式表达式。
• 通过推导出的导数恒等式，显式表达了欧拉多项式在零点的取值。
• 获得了黎曼ζ函数在偶数点取值的显式公式，揭示其与三角函数导数的联系。
• 识别出对应于正弦与余弦函数连续导数的两种特定第二类贝尔多项式。
• 分析了正切函数高阶导数的五种不同形式，揭示了其背后的多项式结构与相互关系。