[论文解读] Explicit formulas for the Dunkl dihedral kernel and the $(\kappa, a)$-generalized Fourier kernel

Denis Constales, Hendrik De Bie+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于拉普拉斯变换的新方法，推导出与二面体群相关的(κ, a)-广义傅里叶核和杜克核的显式表达式与积分表达式，特别针对κ = 0的情况。通过引入辅助变量并利用泊松核与广义马提亚列夫维奇函数，作者获得了整数参数下的闭式公式以及一般情况下的积分表示，证明了在偶数和奇数维下该核的有界性为1。

ABSTRACT

In this paper, a new method is developed to obtain explicit and integral expressions for the kernel of the $(\kappa, a)$-generalized Fourier transform for $\kappa =0$. In the case of dihedral groups, this method is also applied to the Dunkl kernel as well as the Dunkl Bessel function. The method uses the introduction of an auxiliary variable in the series expansion of the kernel, which is subsequently Laplace transformed. The kernel in the Laplace domain takes on a much simpler form, by making use of the Poisson kernel. The inverse Laplace transform can then be computed using the generalized Mittag-Leffler function to obtain integral expressions. In case the parameters involved are integers, explicit formulas are obtained using partial fraction decomposition. New bounds for the kernel of the $(\kappa, a)$-generalized Fourier transform are obtained as well.

研究动机与目标

• 推导当κ = 0时(κ, a)-广义傅里叶核的显式与积分表达式。
• 将该方法扩展至二面体群（特别是I2, I3, I4, I6）的杜克核。
• 证明当a = 2/n时，(0, a)-广义傅里叶核在所有维度下有界于1。
• 为任意a > 0提供基于广义马提亚列夫维奇函数的积分表示。
• 展示该方法在杜克贝塞尔函数上的适用性，通过拉普拉斯变换与部分分式分解。

提出的方法

• 在核级数中引入辅助变量t，以实现拉普拉斯变换。
• 对修改后的核应用拉普拉斯变换，利用杜克拉普拉斯算子的泊松核简化结果。
• 在a = 2/n且m为偶数的情况下，将拉普拉斯变换识别为有理函数，从而实现部分分式分解。
• 通过广义马提亚列夫维奇函数的逆拉普拉斯变换恢复积分表达式。
• 通过在杜克贝塞尔函数的级数中引入t并逐项变换，将该方法应用于杜克贝塞尔函数。
• 利用泊松核与β测度的已知积分表示，将最终核表达为贝塞尔函数与正交多项式的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当a = 2/n且m为偶数时，能否为(0, a)-广义傅里叶核导出显式公式？
• RQ2 对于任意a > 0，(κ, a)-广义傅里叶核的积分表示是什么？
• RQ3 当a = 2/n时，如何建立(0, a)-广义傅里叶核在所有维度下的有界性？
• RQ4 与二面体群I2, I3, I4, I6相关的杜克核的积分表达式是什么？
• RQ5 该方法能否扩展以推导杜克贝塞尔函数的积分表示？

主要发现

• 当a = 2/n且m为偶数时，(0, a)-广义傅里叶核可通过其拉普拉斯变换的部分分式分解获得显式公式。
• 当a = 2/n时，(0, a)-广义傅里叶变换的核在绝对值上对偶数与奇数维均有界于1。
• 对于任意a > 0，核可表示为包含广义马提亚列夫维奇函数与贝塞尔函数的三重积分。
• 二面体群I4的杜克核显式表示为[−1,1]×[−1,1]×[0,1]上的三重积分，涉及贝塞尔函数与β测度。
• I4的杜克贝塞尔函数被导出为包含Jα+β−1/2(b1)/b1α+β−1/2与Jα+β−1/2(b2)/b2α+β−1/2的积分形式，其中b1与b2依赖于角参数。
• 该方法通过三角不等式与拉普拉斯变换分量的有界性，直接证明了杜克贝塞尔函数的有界性为1。