[论文解读] Explicit GL(2) trace formulas and uniform, mixed Weyl laws

Marc Palm|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Advanced Algebra and Geometry被引用 6

一句话总结

本论文为全局域上的GL(2)-自守表示提出了一种显式、通用的迹公式，通过Bushnell-Kutzko的类型理论对Arthur迹公式进行了改进。它为局部平方可积表示构造了显式的伪矩阵系数，并建立了首个对所有代数数域统一的混合Weyl定律，该定律计数在指定实位置具有指定离散系列的尖形式，且误差项与同余子群无关。

ABSTRACT

This thesis provides an explicit, general trace formula for the Hecke and Casimir eigenvalues of GL(2)-automorphic representations over a global field. In special cases, we obtain Selberg's original trace formula. Computations for the determinant of the scattering matrices, the residues of the Eisenstein series, etc. are provided. The first instance of a mixed, uniform Weyl law for every algebraic number field is given as standard application. "Mixed" means that automorphic forms with preassigned discrete series representation at a set of real places are counted. "Uniform" indicates that the estimates implicitly depend on the number field, but not on the congruence subgroup. The method of proof relies on a suitable partition of the cuspidal, automorphic spectrum, and the explication of the non-invariant Arthur trace formula via Bushnell and Kutzko's theory of types. A pseudo matrix coefficient for each local, square-integrable representation, i.e., the discrete series, the supercuspidal, or the Steinberg representation, is constructed explicitly.

研究动机与目标

• 为全局域上的GL(2)-自守表示发展一种显式、通用的迹公式，扩展Selberg的原始公式。
• 提供散射矩阵行列式与Eisenstein级数留数的显式计算。
• 建立首个对所有代数数域统一的混合Weyl定律，计数在指定实位置具有指定离散系列的尖形式。
• 通过类型理论为局部平方可积表示（离散系列、超临界、Steinberg）构造显式的伪矩阵系数。
• 通过类型理论与GL(2)在局部域上的调和分析，统一谱数据与几何数据，实现对Arthur迹公式的精细化。

提出的方法

• 应用非不变的Arthur迹公式，并通过Bushnell与Kutzko的类型理论进行细化，以分解谱侧。
• 利用类型理论与显式调和分析，为局部平方可积表示构造显式的伪矩阵系数。
• 对GL(2, R)、GL(2, C)以及非阿基米德局部域Fv上的GL(2, Fv)执行显式调和分析，计算特征标与分布。
• 利用Abel变换及其逆变换，将轨道积分与谱数据关联，特别针对双曲型、椭圆型与抛物型共轭类。
• 通过谱侧细化，推导散射矩阵迹与Eisenstein级数留数的显式公式。
• 应用迹公式推导自守表示的渐近计数公式，从而导出混合Weyl定律。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为全局域上的GL(2)实现Arthur迹公式的显式化，包括谱与几何分布？
• RQ2 在GL(2)自守形式的背景下，散射矩阵行列式与Eisenstein级数留数的显式公式是什么？
• RQ3 能否为所有代数数域建立统一的混合Weyl定律，计数在指定实位置具有指定离散系列的尖形式？
• RQ4 如何通过类型理论为局部平方可积表示（离散系列、超临界、Steinberg）构造显式的伪矩阵系数？
• RQ5 何种精确的谱侧细化可实现与同余子群无关的统一计数估计？

主要发现

• 本文首次为全局域上的GL(2)-自守表示提供了显式、通用的迹公式，在特殊情况下恢复了Selberg的迹公式。
• 对于深度为零的超临界表示，抛物型分布计算为 ζ′_GL2(Fv)(1, φπ) = log(q)(q − 1)，由对不变向量的望远镜和导出。
• 对于深度为零的超临界表示，椭圆型分布满足：若γ为分歧椭圆型，则Jγ(φπ) = 0；若为非分歧，则Jγ(φπ) = −θ(λ1) − θ(λ2)，其中λ1, λ2为特征多项式的根。
• 谱侧细化导致统一的混合Weyl定律：在固定实位置集合上具有指定离散系列的尖形式计数，其渐近估计与同余子群无关。
• 该方法导出了显式维数公式与自守表示的渐近计数结果，误差项仅依赖于数域，而不依赖于层次。
• 通过类型理论与GL(2)在局部域上的显式调和分析，构造伪矩阵系数，实现了完整的谱分解与迹公式的计算。