[论文解读] Explicit identities for Lévy processes associated to symmetric stable processes

M. E. Caballero, Juan Carlos Pardo+1 more|ArXiv.org|Nov 3, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文引入了超几何-稳定 Lévy 过程——通过 Lamperti 变换从对称稳定过程导出的 Lévy 过程，涉及高斯超几何函数。它刻画了这些过程的 Lévy 测度，推导了 Wiener–Hopf 分解，并建立了径向过程首达时间和末次通过时间的显式联合分布，关键结果涉及通过超几何函数表达的多变量密度和势核。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new class of Lévy processes which we call hypergeometric-stable Lévy processes, because they are obtained from symmetric stable processes through several transformations and where the Gauss hypergeometric function plays an essential role. We characterize the Lévy measure of this class and obtain several useful properties such as the Wiener Hopf factorization, the characteristic exponent and some associated exit problems.

研究动机与目标

• 定义并表征一类新的 Lévy 过程——超几何-稳定 Lévy 过程，该过程通过 Lamperti 表示法从对称稳定过程导出。
• 确定这些过程的 Lévy 测度，并建立其路径性质，包括区间正则性与标度行为。
• 推导径向过程相关联的对称稳定 Lévy 过程的首达时间与末次通过时间的显式 Wiener–Hopf 分解及联合分布。
• 计算 Lévy 过程在进入 (−∞,0) 后吸收时的势核，通过包含高斯超几何函数的积分表达。

提出的方法

• 将 Lamperti 变换应用于对称稳定 Lévy 过程的径向过程 $ R_t = \|Z_t\| $，构造一个 Lévy 过程 $ \xi $，其中 $ R_t = x \exp(\xi_{\tau(t x^{-\alpha})}) $，$ \tau $ 为 $ \xi $ 的指数泛函的逆局部时间。
• 利用径向过程的标度性与自相似性以及 Lamperti 表示法，刻画所得到的超几何-稳定 Lévy 过程的 Lévy 测度。
• 通过利用 Lamperti 表示法与 Lévy 过程的波动理论，特别是通过末次通过时间与首达时间，推导 Wiener–Hopf 分解。
• 利用 Kyprianou 等人与 Millar 的结果，获得末次通过时间处四重分布的联合密度公式，其中密度表达式包含高斯超几何函数 $ {}_2\mathcal{F}_1 $。
• 通过包含 $ (1 - e^{-2y})^{\alpha/2 - 1} $ 与 $ (e^{2z} - 1)^{\alpha/2 - 1} $ 的积分表示，计算 Lévy 过程在进入 $ (-\infty,0) $ 后吸收的势核，最终表达式涉及超几何函数。
• 通过时间变换成 $ \mathbb{E}_x[\sigma_1^{-}] = \mathbb{E}_{\log x}[\int_0^{T_0^-} e^{\alpha \xi_t} dt] $，推导径向过程的势测度，得到以 $ u^{d/2 - 1}(1 - u)^{\alpha/2 - 1} $ 形式的 Beta 型积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 从对称稳定过程导出的超几何-稳定 Lévy 过程类，其 Lévy 测度的显式形式是什么？
• RQ2 如何显式计算与对称稳定 Lévy 过程径向部分相关的 Lévy 过程的 Wiener–Hopf 分解？
• RQ3 径向过程及其相关 Lévy 过程的末次通过时间、未来下确界与首超量的联合分布是什么？
• RQ4 Lévy 过程在进入 $ (-\infty,0) $ 后吸收的势核是什么？如何用特殊函数表达？
• RQ5 径向过程在击中 1 后吸收的势测度如何与底层 Lévy 过程的势核相关联？

主要发现

• 超几何-稳定 Lévy 过程的 Lévy 测度通过一个包含高斯超几何函数 $ {}_2\mathcal{F}_1\left(\frac{\alpha + d}{2}, \frac{\alpha}{2} + 1; \frac{d}{2}; \cdot \right) $ 的密度表征，其归一化常数涉及 Gamma 函数与 $ \sin(\alpha\pi/2) $。
• 推导出 Lévy 过程 $ \xi $ 在末次通过时间的四重分布，其联合密度包含 $ (e^{2v} - 1)^{\alpha/2 - 1} $、$ (e^{2(w - u)} - 1)^{\alpha/2 - 1} $ 与 $ (1 - e^{-2(x + v - y)})^{\alpha/2 - 1} $，并全部乘以超几何函数。
• Lévy 过程在进入 $ (-\infty,0) $ 后吸收的势核表达为一个双重积分，包含 $ (1 - e^{-2y})^{\alpha/2 - 1} $、$ e^{(2 - d)z}(e^{2z} - 1)^{\alpha/2 - 1} $ 以及 $ f $ 的参数平移，包含常数 $ k $ 与 $ \Gamma(\alpha/2)^{-2} $ 的归一化因子。
• 径向过程 $ R $ 在击中 1 后吸收的首达时间势为 $ \mathbb{E}_x[\sigma_1^{-}] = k \frac{x^\alpha}{2\Gamma(\alpha)} \int_{x^{-2}}^1 u^{d/2 - 1}(1 - u)^{\alpha/2 - 1} du $，为 Beta 型积分。
• 联合密度 $ (1/F_0, R_{L_b-}, R_{L_b}, F_{L_b}) $ 被推导为一个四重分布，其密度包含 $ v^{1 - d} $、$ yw^{1 - d - \alpha} $、$ u^{d - \alpha - 1} $ 与 $ (y^2 - (bv)^{-2})^{\alpha/2 - 1} $，并包含超几何函数 $ {}_2\mathcal{F}_1\left(\frac{\alpha + d}{2}, \frac{\alpha}{2} + 1; \frac{d}{2}; (y/bw)^2\right) $。