[论文解读] Explicit invariant measures for infinite dimensional SDE driven by Lévy noise with dissipative nonlinear drift I

Sergio Albeverio, Luca Di Persio+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 92被引用 7

一句话总结

本文建立了由Lévy噪声驱动、具有耗散性非线性漂移项的无穷维随机偏微分方程（SPDE）解的存在性与唯一性。证明了解可分解为一个平稳分量与一个随时间趋于无穷而趋于零的瞬态分量，且该瞬态分量在$L^p$-范数下趋于零，从而将平稳分量的分布识别为唯一的不变测度，将先前针对高斯噪声的结果推广至Lévy噪声情形。

ABSTRACT

We stu\dd y a class of nonlinear stochastic partial differential equations with dissipative nonlinear drift, driven by Lévy noise. Our work is divided in two parts. In the present part I we first define a Hilbert-Banach setting in which we can prove existence and uniqueness of solutions under general assumptions on the drift and the Lévy noise. We then prove a decomposition of the solution process in a stationary component and a component which vanishes asymptotically for large times in the $L^p-$sense, $p\geq1$. The law of the stationary component is identified with the unique invariant probability measure of the process. In part II we will exhibit the invariant measure as the limit of explicit invariant measures for finite dimensional approximants.

研究动机与目标

• 在希尔伯特-巴拿赫框架下，建立具有耗散性非线性漂移项和Lévy噪声的SPDE解的存在性与唯一性。
• 将解过程分解为一个平稳分量与一个在$L^p$-范数下渐近趋于零的分量（$p \geq 1$）。
• 将平稳分量的分布识别为过程的唯一不变概率测度。
• 为第二部分奠定基础，其中证明不变测度可作为显式有限维近似序列的极限而获得。

提出的方法

• 形式化希尔伯特-巴拿赫框架，以处理具有多项式增长的无界线性和非线性漂移项。
• 对非线性漂移项使用Yosida逼近，并通过有限维投影构造双重索引近似序列。
• 应用随机卷积理论与Gronwall型估计，控制解在$L^p$-范数下的增长。
• 证明近似序列$r^{(n)}_m$与$v^{(n)}_m$在$L^p(\Omega; C([0,T]; \mathcal{B}))$中收敛于平稳过程$r$与趋于零的过程$v$。
• 通过一致有界性与紧致性论证，证明$\mathbb{E}|v(t)|^p$关于$t \to \infty$的渐近衰减性。
• 利用$r(t)$的平稳性与不变测度的唯一性，识别$\mathcal{L}(r(t))$为完整过程的唯一不变测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有耗散性非线性漂移项和Lévy噪声驱动的无穷维SPDE识别出唯一的不变测度？
• RQ2 解过程是否可分解为一个平稳分量与一个在$t \to \infty$时于$L^p$-范数下趋于零的瞬态分量？
• RQ3 平稳分量的分布是否等于过程的唯一不变测度？
• RQ4 如何通过有限维显式测度近似不变测度，特别是与具有Lévy噪声的Ornstein-Uhlenbeck过程的关系如何？

主要发现

• 解过程可分解为$X(t) = r(t) + v(t)$，其中$r(t)$为平稳分量，且对所有$p \geq 1$满足$\lim_{t \to \infty} \mathbb{E}|v(t)|^p = 0$。
• 平稳分量$r(t)$的分布$\mathcal{L}(r(t))$是过程$(X(t))_{t \geq 0}$的唯一不变概率测度。
• 有限维近似序列$r^{(n)}_m$与$v^{(n)}_m$在所有$T > 0$和$p \geq 1$下于$L^p(\Omega; C([0,T]; \mathcal{B}))$中收敛于$r$与$v$。
• 证明依赖于Gronwall型估计的一致有界性，以及利用随机卷积理论控制噪声与漂移项。
• 由于瞬态分量的渐近衰减，不变测度与初始条件无关。
• 该结果将先前针对高斯噪声的工作推广至Lévy噪声，对FitzHugh-Nagumo SPDE与随机量化解方程等模型具有启示意义。