[论文解读] Explicit inversion formulas for the spherical mean Radon transform

Leonid Kunyansky|ArXiv.org|Sep 13, 2006

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文提出了球均值Radon变换的显式闭式反演公式，实现了从围绕一个球面的球面上积分值重建函数。该方法采用适用于所有维度 n ≥ 2 的滤波-反投影方法，为偶数维情形提供了新公式，并针对一般采集曲面提出级数解法，显著推进了热声与光声计算机断层扫描的应用。

ABSTRACT

We derive explicit formulas for the reconstruction of a function from its integrals over a family of spheres, or for the inversion of the spherical mean Radon transform. Such formulas are important for problems of thermo- and photo- acoustic tomography. A closed-form inversion formula of a filtration-backprojection type is found for the case when the centers of the integration spheres lie on a sphere in Rn surrounding the support of the unknown function. An explicit series solution is presented for the case when the centers of the integration spheres lie on a general closed surface.

研究动机与目标

• 开发显式反演公式，以从其球均值重建紧支集函数。
• 解决偶数维空间中缺乏闭式反投影型公式的难题。
• 为球均值变换反演提供统一框架，涵盖球面与一般采集几何。
• 通过提供解析可处理的反演方法，支持热声与光声计算机断层扫描中的实际重建。

提出的方法

• 利用贝塞尔函数与傅里叶变换推导函数的积分表示。
• 利用n维空间中Helmholtz方程的解与含汉克尔函数的格林函数。
• 应用球谐函数展开与正交性，推导积分核的对称性质。
• 通过将滤波数据与球面上的反投影相结合，构建滤波-反投影公式。
• 利用特征函数展开，为一般闭合采集曲面构造级数解。
• 通过球谐基中的系数分析，验证积分算子 I(x,y) 的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为偶数维空间中的球均值Radon变换推导出滤波-反投影类型的闭式反演公式？
• RQ2 当积分球的中心位于包围函数支集的闭合曲面上时，球均值变换应如何反演？
• RQ3 反演算子的数学结构是什么？其是否满足稳定重建所必需的对称性质？
• RQ4 能否为所有维度 n ≥ 2 的球均值变换构造出显式公式？
• RQ5 贝塞尔函数与球谐函数在推导稳定且显式的反演方案中起什么作用？

主要发现

• 在所有维度 n ≥ 2（包括此前未解决的偶数维情形）中，推导出球均值Radon变换的闭式滤波-反投影反演公式。
• 当积分球的中心位于包围函数支集的球面上时，该反演公式有效，实现了稳定且显式的重建。
• 当中心位于一般闭合曲面上时，通过球谐函数展开与特征函数分解，构建了级数解。
• 通过球谐基中的系数分析，严格证明了积分算子 I(x,y) = I(y,x) 的对称性。
• 推导出涉及贝塞尔函数与诺伊曼函数在球面上积分的显式表达式，支持解析反演。
• 该方法为热声与光声计算机断层扫描中的实际重建提供了理论基础，支持解析可处理、非迭代的算法。