[论文解读] Explicit Lyapunov functions and estimates of the essential spectral radius for Jackson networks

Irina Ignatiouk-Robert, Danielle Tibi|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文为正递归的Jackson网络构造了显式的乘法型李雅普诺夫函数，从而实现了对返回紧集的首达时间尾部分布及本质谱半径的显式估计。关键贡献在于通过涉及路由与服务参数的变分公式，给出了最优衰减速率的闭式表达式。

ABSTRACT

A family of explicit Lyapunov function for positive recurrent Markovian Jackson network is constructed. With this result we obtain explicit estimates of the tail distribution of the first time, when the process returns to large compact sets, and some explicit estimates of the essential spectral radius of the process. The essential spectral radius of the process provides the best geometric convergence rate to equilibrium that one can get by changing the transitions of the process in a finite set.

研究动机与目标

• 为正递归的马尔可夫型Jackson网络构造显式的乘法型李雅普诺夫函数。
• 推导大紧集上首次返回时间的尾部分布的显式估计。
• 对马尔可夫过程生成元的本质谱半径提供显式上界。
• 建立收敛到平衡态的最优指数衰减速率的变分公式。

提出的方法

• 利用由路由与服务参数导出的向量族，构造显式的李雅普诺夫函数。
• 在向量空间上定义泛函 R(α)，并以变分形式刻画本质谱半径。
• 运用凸性与连续性论证，在状态空间的特定子集上最小化 R(α)。
• 应用参数空间与扭曲生成元方程解集之间的同胚关系。
• 通过对其解向量支集的归纳法，证明变分公式的等式成立。
• 借助扭曲生成元与矩阵 G 的结构，推导出包含 √μi − √νi 项的显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为正递归的Jackson网络构造显式的乘法型李雅普诺夫函数？
• RQ2 对紧集的 hitting 时间尾部分布可导出何种显式估计？
• RQ3 如何显式估计生成元的本质谱半径？
• RQ4 收敛到平稳态的最优指数衰减速率是什么？其表征方式为何？
• RQ5 是否存在一个变分公式，能够捕捉到最佳可能的几何收敛速率？

主要发现

• 构造了一个显式的乘法型李雅普诺夫函数 h，使得对所有在紧集外的 x，有 Lh(x) ≤ −θh(x)，其中 θ > 0。
• 生成元的本质谱半径上界为 exp(−θ)，其中 θ 由 R(α) 在特定向量类上的最小值确定。
• 最优衰减速率在 α = γ₁* 处取得，其中 γ₁* = √(μ₁/ν₁) − 1，且对应于 α ∈ B_{1} 且 J(α) = {2,…,d} 时 R(α) 的最小值。
• 本质谱半径被显式估计为 exp(−R(γ₁*)) = exp(−1/G₁₁(√μ₁ − √ν₁)²)，其中 G₁₁ 是矩阵 G 的对角元素。
• 证明表明，对所有满足 J(α) ≠ {2,…,d} 的 α ∈ B_{1}，有 R(γ₁*) < R(α)，从而确认所构造函数的最优性。
• 该结果首次为一般Jackson网络提供了本质谱半径的显式、闭式估计。