[论文解读] Explicit Proofs and The Flip

Ketan Mulmuley|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用 8

一句话总结

该论文在几何复杂性理论中提出“翻转”策略，通过寻求显式证明来解决P vs. NP问题中的自指悖论——即构造出易于验证、可构造且可解码的困难性证书。它表明，若算术电路恒等性测试能以黑箱方式去随机化，则任何算术P vs. NP猜想的证明均可转化为显式证明；更强形式的此类去随机化意味着代数几何中一个困难的显式构造问题存在多项式时间算法。

ABSTRACT

This article describes a formal strategy of geometric complexity theory (GCT) to resolve the {\em self referential paradox} in the $P$ vs. $NP$ and related problems. The strategy, called the {\em flip}, is to go for {\em explicit proofs} of these problems. By an explicit proof we mean a proof that constructs proof certificates of hardness that are easy to verify, construct and decode. The main result in this paper says that (1) any proof of the arithmetic implication of the $P$ vs. $NP$ conjecture is close to an explicit proof in the sense that it can be transformed into an explicit proof by proving in addition that arithmetic circuit identity testing can be derandomized in a blackbox fashion, and (2) stronger forms of these arithmetic hardness and derandomization conjectures together imply a polynomial time algorithm for a formidable explicit construction problem in algebraic geometry. This may explain why these conjectures, which look so elementary at the surface, have turned out to be so hard.

研究动机与目标

• 为解决P vs. NP问题中的自指悖论，即‘发现困难’这一陈述可能排除其自身证明的可能性。
• 证明‘翻转’策略是几何复杂性理论（GCT）中实现困难性显式证明的正式且系统的方法。
• 证明若算术电路恒等性测试可黑箱去随机化，则任何算术非均匀P vs. NP猜想的证明都接近于显式证明。
• 表明更强形式的去随机化与困难性猜想共同意味着代数几何中一个艰巨的显式构造问题存在多项式时间算法。
• 解释为何看似基础的复杂性理论猜想如此困难，通过将其与代数几何中的深层问题联系起来。

提出的方法

• 引入‘显式证明’的概念，即构造NP难性证明证书（障碍）的证明，这些证书在多项式时间内可短时间验证、构造和解码。
• 将‘翻转’定义为一种策略，将困难性问题（下界）转化为易处理问题（上界），具体为在P时间内验证、构造和解码障碍。
• 应用困难性与随机性原理及向下自归约性，表明去随机化算术电路恒等性测试可实现将任意证明转换为显式证明。
• 利用对称性表征——即函数由群作用下的少量多项式恒等式唯一确定——作为函数（如永久多项式或E(X)）的关键结构属性。
• 采用非均匀co-RP/poly算法，测试电路是否计算具有对称性表征的函数，利用函数对称群的结构。
• 将结果推广至有限域，表明在足够大的有限域F_p上，类似翻转定理成立，且满足度数保持的电路约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过寻求构造出可验证、可构造且可解码的困难性证书的显式证明，来解决P vs. NP问题中的自指悖论？
• RQ2 任何算术P vs. NP猜想的证明在多大程度上接近显式证明？在何种附加假设下可将其转化为显式证明？
• RQ3 算术电路恒等性测试的去随机化与几何复杂性理论中显式证明的存在性之间有何联系？
• RQ4 更强形式的困难性与去随机化猜想是否意味着代数几何时显式构造问题存在高效算法？
• RQ5 证明技术的刚性（即仅适用于极少数函数）与P vs. NP证明的困难性之间有何关系？

主要发现

• 若算术电路恒等性测试能以黑箱方式去随机化，则任何算术非均匀P vs. NP猜想的证明均可转化为显式证明。
• 翻转策略将困难性问题转化为上界问题：在多项式时间内验证、构造和解码障碍。
• 更强形式的算术困难性与去随机化猜想共同意味着代数几何中一个艰巨的显式构造问题存在多项式时间算法。
• 翻转定理的证明方法极为刚性，仅适用于由对称性表征的函数，其数量至多为$ 2^{ ext{poly}(n)} $。
• 即使在对称性恒等式中使用非均匀电路，翻转定理依然成立，且该方法可扩展至满足$p > 2n$的有限域$ ext{F}_p$，在度数保持约束下成立。
• 该证明方法的刚性（仅适用于$ 2^{ ext{poly}(n)} $个函数）表明，任何P vs. NP的证明可能需要比自然证明障碍所要求的更严格的刚性。