[论文解读] Explicit rank-metric codes list-decodable with optimal redundancy

Venkatesan Guruswami, Carol Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文首次提出了显式构造的线性秩距离码，其可列表解码至接近 $1 - R - \varepsilon$ 的秩错误分数，其中 $R$ 为码率，$\varepsilon > 0$。通过将消息多项式限制在某个精心选择的 $\mathbb{F}_h$-子空间中，以避开线性代数列表解码器产生的结构化子空间，作者实现了最优冗余与多项式列表大小，利用了子空间设计与子空间非对称集合。

ABSTRACT

We construct an explicit family of linear rank-metric codes over any field ${\mathbb F}_h$ that enables efficient list decoding up to a fraction $ρ$ of errors in the rank metric with a rate of $1-ρ-ε$, for any desired $ρ\in (0,1)$ and $ε> 0$. Previously, a Monte Carlo construction of such codes was known, but this is in fact the first explicit construction of positive rate rank-metric codes for list decoding beyond the unique decoding radius. Our codes are subcodes of the well-known Gabidulin codes, which encode linearized polynomials of low degree via their values at a collection of linearly independent points. The subcode is picked by restricting the message polynomials to an ${\mathbb F}_h$-subspace that evades the structured subspaces over an extension field ${\mathbb F}_{h^t}$ that arise in the linear-algebraic list decoder for Gabidulin codes due to Guruswami and Xing (STOC'13). This subspace is obtained by combining subspace designs contructed by Guruswami and Kopparty (FOCS'13) with subspace evasive varieties due to Dvir and Lovett (STOC'12). We establish a similar result for subspace codes, which are a collection of subspaces, every pair of which have low-dimensional intersection, and which have received much attention recently in the context of network coding. We also give explicit subcodes of folded Reed-Solomon (RS) codes with small folding order that are list-decodable (in the Hamming metric) with optimal redundancy, motivated by the fact that list decoding RS codes reduces to list decoding such folded RS codes. However, as we only list decode a subcode of these codes, the Johnson radius continues to be the best known error fraction for list decoding RS codes.

研究动机与目标

• 构造显式、高码率的秩距离码，实现超越唯一解码半径的列表解码。
• 通过使用子空间非对称子码，克服Gabidulin码中大域大小的挑战。
• 将构造方法扩展至子空间码与折叠Reed-Solomon码，用于汉明距离下的列表解码。
• 为先前基于蒙特卡洛方法的最优冗余列表可解码码提供显式替代方案。
• 建立首个显式构造的正码率秩距离码，其可从超过最小距离一半的错误中实现列表解码。

提出的方法

• 通过将消息多项式限制在避免线性代数列表解码器中结构化子空间的 $\mathbb{F}_h$-子空间，构造Gabidulin码的显式子码。
• 利用Guruswami与Kopparty（FOCS'13）提出的子空间设计，控制与候选列表解码器输出的交集。
• 结合Dvir与Lovett（STOC'12）提出的子空间非对称簇，确保子码与解码器输出子空间的交集较小。
• 将该构造应用于低折叠阶的折叠Reed-Solomon码，以在汉明距离下实现最优冗余的列表解码。
• 利用折叠RS码的列表解码可归约为小折叠阶子码的列表解码这一事实。
• 确保最终的列表包含于一个维度为 $O(s^2/\varepsilon^2)$ 的 $\mathbb{F}_h$-子空间中，其中 $s$ 控制错误分数，$\varepsilon$ 控制码率损失。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出显式、高码率的秩距离码，使其可超越唯一解码半径实现列表解码？
• RQ2 能否通过显式构造而非蒙特卡洛方法，实现在列表解码秩距离码中达到最优冗余？
• RQ3 相同技术能否扩展至子空间码与折叠Reed-Solomon码，以实现汉明距离下的列表解码？
• RQ4 对于冗余为 $1 - R - \varepsilon$ 的显式列表可解码秩距离码，可实现的最小列表大小是多少？
• RQ5 能否利用子空间非对称集合，构造出误差分数为 $1 - R - \varepsilon$ 时具有多项式 $\text{poly}(1/\varepsilon)$ 列表大小的码？

主要发现

• 本文构造了一个Gabidulin码的显式 $\mathbb{F}_h$-线性子码，码率为 $(1 - \varepsilon)k/n$，列表解码半径为 $s(n - k)/(s + 1)$ 个秩错误。
• 最终的码字列表被包含于一个维度为 $O(s^2/\varepsilon^2)$ 的 $\mathbb{F}_h$-子空间中，确保了多项式列表大小。
• 该构造的列表解码半径随着 $s$ 增大而趋近于信息论极限 $1 - R$。
• 对于子空间码，本文首次给出了高码率、可列表解码且超越唯一解码半径的显式构造，且无需使用折叠技术。
• 该方法适用于低折叠阶的折叠Reed-Solomon码，可得到一个子码，其可实现接近列表解码容量的最优冗余。
• 该构造优于先前仅实现多项式小码率的显式码，并为蒙特卡洛构造提供了确定性替代方案。