[论文解读] Explicit reduction modulo $p$ of certain crystalline representations

Kevin Buzzard, Toby Gee|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文利用 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 的 $p$-进局部兰兰兹对应，显式计算了在 $p$ 不整除 $N$ 且 $p$-进斜率较小的条件下，与模形式相关的二维晶体表示的模 $p$ 简化。关键结果是在 $0 < v(a_p) < 1$ 时，对 $\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ 的完全分类，其结果以权、字符和 $q$-展开系数表示，表明半简化模 $p$ 伽罗瓦表示要么是来自二阶基本字符的诱导表示，要么是具有无挠和单位特征的可约表示。

ABSTRACT

We use the p-adic local Langlands correspondence for GL_2(Q_p) to explicitly compute the reduction modulo p of crystalline representations of small slope, and give applications to modular forms.

研究动机与目标

• 在 $p \nmid N$ 且斜率 $v(a_p)$ 较小时，显式确定与模形式相关的二维晶体表示的模 $p$ 简化。
• 解决实际问题：在有利情况下，$\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ 是否可从模形式的权、字符和 $q$-展开式中读出。
• 利用 $p$-进局部兰兰兹对应，将已知的局部伽罗瓦表示结果扩展到模 $p$ 设置。
• 为权 $k \geq p+3$、$p$ 不整除 $N$ 且满足 $0 < v(a_p) < 1$ 的模形式，提供其半简化模 $p$ 局部伽罗瓦表示的完整分类。

提出的方法

• 利用 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 的 $p$-进局部兰兰兹对应，将 $p$-进伽罗瓦表示与 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 的光滑表示联系起来。
• 分析在 $\overline{\mathbf{Z}}_p$ 系数的模形式空间上，Hecke 算子 $T_p$ 的作用，特别关注其在模 $p$ 简化中的像。
• 应用在诱导表示 $\operatorname{ind}_{KZ}^G(\operatorname{Sym}^r(\overline{\mathbf{Q}}_p^2))$ 上 Hecke 算子 $T$ 的显式公式，研究模 $p$ 商 $\overline{\Theta}_{k,a_p}$ 的结构。
• 利用二阶基本字符理论，特别是 $\omega_2$，将不可约模 $p$ 伽罗瓦表示分类为来自二次扩张的诱导表示。
• 运用局部类域论，将模 $p$ 伽罗瓦表示解释为 $\mathbf{Q}_p^\times$ 和 $\mathbf{Q}_{p^2}^\times$ 上的特征，从而实现显式分类。
• 应用 [AS86] 和 [Bre03b] 的结果，将分类简化为对小 $p$ 的有限检查，特别是针对权为 1 的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \nmid N$ 时，是否能从模形式 $f$ 的权、字符和 $q$-展开式中显式确定半简化模 $p$ 伽罗瓦表示 $\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$？
• RQ2 对于权 $k \geq p+3$ 且满足 $0 < v(a_p) < 1$ 的模形式，$\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ 的结构是什么？
• RQ3 在小斜率范围内，$\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ 何时不可约或可约？
• RQ4 对于权为 1 的模形式，$p \leq 53$ 时，斜率区间 $(0,1)$ 是否可能出现在 $p$-进斜率中？
• RQ5 模 $p$ 局部伽罗瓦表示是否仅由 $p$-进斜率和权决定，还是 $\mathcal{L}$-不变量也起作用？

主要发现

• 对于权 $k \geq p+3$、$p$ 不整除 $N$ 且满足 $0 < v(a_p) < 1$ 的模形式，模 $p$ 伽罗瓦表示 $\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ 同构于 $\operatorname{ind}(\omega_2^{g+1})$，其中 $g \in [0, p-2]$ 且 $g \equiv k-2 \pmod{p-1}$，或当 $k \equiv 3 \pmod{p-1}$ 时为 $\omega \oplus \omega$ 的可约表示。
• 半简化模 $p$ 表示 $\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ 是某个 $I(\sigma_s)$ 的商表示，其中 $\sigma_s$ 是 Iwahori 子群的表示，且满足 $s \equiv p-1 - r \pmod{p-1}$，$r = k-2$。
• 当 $k \geq p+3$ 且 $0 < v(a_p) < 1$ 时，空间 $X(k,a_p)$ 包含由 $\overline{\theta}\sigma_{r-(p+1)}$ 和 $y^r$ 生成的子表示的像，从而导出一个维数为 $p-1$ 的子表示的商。
• 对于 $2 \leq p \leq 53$，不存在权为 $k$ 的权为 1 的模形式，其 $p$-进斜率位于区间 $(0,1)$ 内，因为所有此类形式的 $T_p$-特征值均为 $p$-进单位。
• 结果是紧致的：当 $p=59$ 时，存在一个权为 16 的权为 1 的尖点形式，其斜率为 $1/2$，且模 $p$ 表示不可约，表明 $p \leq 53$ 的非存在性界限是最优的。
• 该分类在 $v(a_p) = 1/2$ 时依然成立，且当 $k = 2p+1$、$p > 2$ 时，数值例子表明可约与不可约情形均可能出现。