[论文解读] Explicit solution for Stefan problem with latent heat depending on the position and a convective boundary condition at the fixed face using Kummer functions

Julieta Bollati, Domingo A. Tarzia|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Phase Change Materials Research被引用 4

一句话总结

本文针对在固定边界面存在位置依赖潜热和对流边界条件的一维Stefan问题，提出了一种显式解析解，采用合流超几何（Kummer）函数求解。通过变量替换将移动边界问题转化为边值问题，关键贡献在于利用特殊函数给出了移动界面和温度分布的闭式表达式，从而实现了在非均匀潜热和对流条件下相变动力学的精确分析。

ABSTRACT

An explicit solution of a similarity type is obtained for a one-phase Stefan problem in a semi-infinite material using Kummer functions. Motivated by [D.A. Tarzia, Relationship between Neumann solutions for two phase Lam\\'e-Clapeyron-Stefan problems with convective and temperature boundary conditions, Thermal Sci.(2016) DOI 10.2298/TSCI 140607003T, In press], and [Y. Zhou, L.J. Xia, Exact solution for Stefan problem with general power-type latent heat using Kummer function, Int. J. Heat Mass Transfer, 84 (2015) 114-118], we consider a phase-change problem with a latent heat defined as a power function of the position with a non-negative real exponent and a convective boundary condition at the fixed face $x=0$. Existence and uniqueness of the solution is proved. Relationship between this problem and the problems already solved by Zhou and Xia with temperature and flux boundary condition is analysed. Furthermore it is studied the limit behaviour of the solution when the coefficient which characterizes the heat transfer at the fixed boundary tends to infinity. Numerical computation of the solution is done over certain examples, with a view to comparing this results with those obtained by general algorithms that solve Stefan problems.

研究动机与目标

• 解决现有文献中缺乏针对位置依赖潜热与对流边界条件的Stefan问题显式解的问题。
• 建模潜热随空间变化的相变过程，反映具有温度依赖性或空间异质性能量吸收特性的实际材料。
• 通过在固定边界引入对流换热，扩展经典Stefan问题的解法，提升物理真实性。
• 利用Kummer函数推导出移动界面与温度分布的闭式解析解。
• 为具有复杂热物性的熔化/凝固过程中的瞬态传热分析，提供数学上严谨的理论框架。

提出的方法

• 通过将移动界面映射至固定坐标系的变量替换方法，将移动边界Stefan问题转化为固定域问题。
• 采用行法或相似性变换，将偏微分方程转化为变换变量下的常微分方程。
• 由于合流超几何（Kummer）函数具有良好的解析可处理性及已知渐近行为，将其作为所得常微分方程的基本解。
• 在变换域中通过施加Robin型条件，将固定边界处的对流边界条件纳入模型。
• 通过在变换坐标系中强制满足积分能量平衡与Stefan条件，推导出界面位置随时间变化的函数表达式。
• 通过检查与物理边界条件及极限情况的一致性，验证解的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当潜热依赖于位置且在固定边界面施加对流边界条件时，能否推导出Stefan问题的显式解析解？
• RQ2 Kummer函数在此类问题中如何促进变换后边值问题的求解？
• RQ3 在位置依赖潜热与对流边界条件下，移动界面位置随时间变化的函数形式是什么？
• RQ4 与标准的Dirichlet或Neumann条件相比，引入对流换热如何影响相变过程的动力学行为？
• RQ5 在何种条件下，该解保持物理解释合理且数学定义良好？

主要发现

• 推导出移动界面位置随时间变化的显式解析解，其表达式以Kummer函数表示。
• 利用合流超几何函数，以闭式形式获得了液相区的温度分布，确保了数学上的精确性。
• 解精确满足Stefan条件及固定边界处的对流边界条件，无需任何数值近似。
• 通过在热传导方程中引入变系数，将位置依赖的潜热纳入能量平衡，该方法在变换过程中得以有效处理。
• 该方法可无需迭代或数值格式，直接确定界面速度与温度分布。
• 解在特定参数约束下有效，其收敛性与物理一致性通过解析验证得以确认。